自动控制原理第三章.ppt

3 自动控制系统的时域分析,本章知识点：典型输入信号分析 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应及性能指标的计算 系统稳定的概念和代数稳定判据 系统稳态误差的分析和计算,指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态响应和稳态精度。由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观、准确的优点。并且可以提供系统时间 响应的全部信息。系统输出量的时域表示可由微分方程式得到，也可由传 递函数得到。在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系 统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复 频域分析。,1、什么是时域分析?,零点传递函数分子多项式的根，称为系统的零点；(-z i)极点传递函数分母多项式的根，称为系统的极点。(-pi)一般零点、极点可为实数，也可为共轭复数。公式中的 K称为放大系数。,在一定初始条件下，高阶 方程与二阶方程的时间响应 比较：,2.在工程应用中微分方程求解法的局限性,（1）高阶方程求解困难。（2）实际工程问题要求选择系统参数，改变系统结构。（3）很难区分影响系统运动规律的主、次因素。,因此，从工程角度来看，准确求解没有必要。,3、分析控制系统的任务（1）判断系统是否稳定；（2）分析系统动态性能的好坏。比较三个随动系统当输入量变化时，系统的动态性能,受控量跟随输入变化时间慢,受控量变化快但不能及时停住,受控量能较好地跟随输入量变化,3.1 自动控制系统的时域指标 对控制性能的要求 稳定、准确和快速三个方面。,3.3.2 自动控制系统的典型输入信号,1）阶跃函数,其拉氏变换后的像函数为：,A-阶跃幅度，A=1 称为单位阶跃函数，记为,2）斜坡函数（速度阶跃函数）：,A=1时，称为单位斜坡函数。,其拉氏变换后的像函数为：,3）抛物线函数（加速度阶跃函数）：,其拉氏变换后的像函数为：,时，称为 单位抛物线函数。,4）脉冲函数,上述几种典型函数有如下关系：,3.2.2 单位阶跃响应函数：,例 3-1（1）求调节时间（2）若要求，求系统反馈系数应取多少？,解:（1）首先求传递函数：,（2）设满足 的反馈系数为,3.3 二阶系统的阶跃响应,如图所示为位置随动系统的原理图（原教材例题）,本系统中设传动比,解：该系统的任务是控制有粘性摩擦力 和转动惯量 的负载，使其位置与输入手柄位置协调。,由上述分析可得如图所示的位置随动系统的结构图：,将上式转换成二阶系统闭环传递函数的标准形式,二阶系统传递函数的标准形式：,注意：当 不同时，特征根（极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。阶跃响应有振荡 和非振荡两种情况。,3.3.1 典型二阶系统的暂态特性,特点：由 明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量 组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决于指数的 大小。指 数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶 系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时电路的输出量为单调上 升曲线。,因此,过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节 的串联，其单位阶跃响应为:,当，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为 欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。,其阶跃输入下的暂态响应：,具体步骤如下：,求阶跃输入下的暂态响应,注意：此时特征根的负实部（）决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率，称 为阻尼振荡角频率。,特点：此时特征方程有两个共轭复数根。输出 经短时间的周期振荡后，最终趋于平衡。振荡的程度与阻尼比有关，值越小，振荡越强。（暂态曲线和根的分布如下：）,时，根的分布：,如图在 的情况下，二阶系统暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数。下图为以 为参变量的二阶系统暂态响应曲线：,当 时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼 系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,当 时，,由此，系统的暂态响应仍为一条上升曲线。,阶跃响应曲线为：,4、当，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻 尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。,当 时，,阶跃响应曲线为：,3.3.2 二阶系统暂态特性指标,解得：,由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：,3.最大超调量,将峰值时间 代入,故：,调节时间,根据调节时间的定义：,当 时，,忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或0.02时，过渡过程即进行完毕。则有：,由此求得调节时间为：,注意事项参考教材Page6667。,振荡次数：,3.3.3 二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系,阻尼比 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判 断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单 调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作 等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结:,为了限制超调量，并使 较小，一般取0.40.8，则超调量 在25%1.5%之间。,3.3.4 二阶工程最佳参数,由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼比。,开环：,闭环：,二阶系统的标准式：,单位阶跃输入下的暂态性能指标如下：,最大超调量：,上升时间：,调节时间：,例题3-2,如图所示为单位反馈随动系统，已知：求（1）（2）（3）（4）如果，应怎样改变 值？,例题3-3,在上题中，为改善系统暂态响应，满足单位阶跃输入下系统超调量 的要求，加入了微分负反馈 求微分时间,3.3.5 零极点对二阶系统暂态性能的影响 3.3.5.1 具有零极点的二阶系统的暂态特性分析,具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，(和 不变)。其闭环传递函数为：,零点为：,显然，系统的闭环传递函为具有零点 的二阶系统。,其等效结构图为：,输出的拉氏变换为：,其中：,故:,具有零点的二阶系统阶跃响应为：,闭环零极点在S平面上的分布,为极点与零点间的距离，如图可确定其位置。,闭环零极点在S平面上的分布,图中：,求得典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃暂态响应如下：,分析结论：,当阻尼比 为定值时，值越小，即零点越靠近虚轴，值就越大，振荡性越强；反之，如 值越大，即零点离虚轴越远，则 值 越小。总之，闭环传递函数零点的存在，使系统振荡性增强。,由上图可看出：使得 比 响应迅速且有较大超调量。,2.二阶系统加极点的暂态响应,闭环传递函数的标准形式如下：,其中 是负实数极点 与共轭复数极点的负实部之比。,结论（1）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即 稳态分量 由极点 构成的指数函数项 由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量（2）当 时，系统的暂态特性主要由 和 决 定，系统呈现二阶系统的特性。当 时，系统的暂态特性主要由 决定，系统呈现一阶系统特性。（3）一般情况下，因此具有负实数极点的 三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱，而 和 增长，减小，相当于系统的惯性增加了。,三阶系统的极点分布图,第五节 系统的稳定性和 代数稳定判据,稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部 一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发 散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措 施，是自动控制理论的基本任务之一。,3.5.1 线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件,稳定的充要条件和属性,一、线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件,1、稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时 间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定 的系统。否则为不稳定的系统。,稳定的充要条件和属性,充要条件说明,注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。,对于一阶系统，只要 都大于零，系统是稳定的。,对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。,充要条件说明,3.5.2 劳斯判据,劳斯判据,劳斯判据,1、劳斯表,劳斯表中各项的计算式为：,劳斯判据,依次类推。可求得这一计算过程一直进行到行，且计算到每行其余的系数全部为零止。,、劳斯判据的内容,（1）特征方程的根都位于S平面左半部的充分必要件：劳斯表的第一列系数全部是正数。（2）由劳斯表可得特征方程右半平面根的个数：它等于劳斯表中第一列各元素符号改变的次数。,例3-4 系统的特征方程为：,请问结论是什么？,劳斯表第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个根在s的右半平面。,补充例题 1,方法二：,方法一：,两种方法有什么不同？由此你得出什么结论？,结论:用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性。,劳斯表第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个根在s的右半平面。,3、劳斯表的特殊情况,例,令 则 故第一列不全为正，系统不稳定；第一列各项的符号改变两次，s右半平面有两个根。,劳斯表中 上面一行的首列和 下面一行的首列符号相同，表明方程有一对纯虚根存在。,例 有特征方程：,劳斯表某行系数全为零的情况,表明：特征方程具有大小相等，且位置对称于原点的根。至少下述几种情况之一出现：如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚 根，或对称于虚轴的两对共轭复根。,处理办法 1）可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程；2）就此辅助方程式对s求导，所得方程的系数用来 代替全零的行。大小相等，位置相反的根可以 通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数。,例3-5,辅助方程为：，求导得：或：，用1，3代替全零行即可。,4.利用劳斯判据分析一阶、二阶、三阶系统的充分必要条件,胡尔维茨判据,则 系统稳定的充要条件是，且由特征方程系数 构成的胡尔维茨行列式的各阶主子行列式全部为正。,胡尔维茨行列式：,胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 为止，然后在每一列内从上到下按下标递减的顺序填入其他系数，最后用零补齐。,胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 为止，然后在每一列内从上到下按下标递减的顺序填入其他系数，最后用零补齐。,胡尔维茨判据,以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：,胡尔维茨行列式为：,稳定的充要条件是：,胡尔维茨判据,例：系统的特征方程为：试用胡尔维茨定理判断。,解：系统的特征方程为：,列胡尔维茨行列式如下：,故：系统是稳定的。,3.5.4 讨论系统参数对稳定性的影响,目的应用代数稳定判据，分析系统参数变化对系统稳 定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定 的最大K值，称为临界放大系数,系统的特征方程式为：,根据三阶系统稳定的充分必要条件：,第一种情况，若取,第二种情况，若取,结论：将各时间常数的数值错开，系统可允许较大的开环 放大倍数。,例题2：已知系统结构图，求参数 的稳定范围,解：列出系统的闭环传递函数如下,式中：,系统的特征方程为：,由劳斯判据计算知，其第一列的 行出现负数，所以系统不稳定。,调整，可将特征方程变形如下：,胡尔维茨行列式为：,3.5.5 相对稳定性和稳定裕量,所谓相对稳定性或稳定裕量是指系统距离稳定 边界的余量。,定义方法一：用闭环特征方程式每一对复数根的 阻尼比 的大小。定义方法二：用每一根的负实部的大小。,检验系统是否具有 的稳定裕量的方法：相当于把纵坐标轴向左位移距离，然后判断其稳定性。,定义：在稳态条件下，输出量的期望值与稳态值 之间存在的误差。,分类：扰动误差用来衡量恒值系统的稳态品质。给定误差用来衡量随动系统的稳态品质。,3.6 稳态误差,+,如图为第二章 图2-42,根据拉氏变换的终值定理，求得扰动作用下的稳态误差：,3.6.1 扰动稳态误差,终值定理要求 和 可拉氏变换；存在；并且除在原点处可以有极点外，的所有极点都在 s平面的左半平面。即只有稳定的系统，才可计算稳态误差。,系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量,系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量,对于恒值系统，典型的扰动量为单位阶跃函数，即：，求得扰动作用下的稳态误差：,分析：考虑给定量 时，以扰动量 为输入量化简结构图：,故：,解：1）求扰动误差的拉氏变换,解：1）求扰动误差的拉氏变换,当负载为阶跃函数时，则转速的稳态误差为：,显然，越大，则稳态误差越小，因此提高 是这一系统减小稳态误差的主要方法,而 的值决定于调节器的比例系数 和速度反馈系数 等参量，因此提高 或增加速度反馈强度都可以减 小稳态误差。但 太大也容易使系统不稳定。,若要将上述有差系统转换为无差系统，可将系统中的比例调节器换成积分调节器,将图3-28中的 换成，得：,3.6.2 给定稳定误差和误差系数,1、误差的定义,1）定义一,2）定义二 取系统输出量的实际值与期望值之差为误差。,若单位反馈系统的开环放大系数可表示为：,式中 为开环传递函数中串联的积分环节的阶次。,结论：,3、系统的类型,通常，系统按它的开环传递函数中所含积分环节 的个数分类。,N=0，0 型系统；N=1，1 型系统；N=2，2 型系统。,4、典型输入情况下系统的给定稳态误差分析,（1）,令位置误差系数 为,故,以下分析不同类型系统的,（2）,式中速度稳态误差系数：,（2）当输入为 时（单位加速度函数）,式中：称为加速度误差系数；,不同类型系统的稳态误差：,当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即,给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同形式的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益有关；对有差系统，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。,小结：,各型系统在不同输入情况下 的稳态误差系数和给定稳态误差汇总表,系统,目的：减小给定作用 的稳态误差。,系统的闭环传递函数：,方法：由输入端引入 作为补偿矫正装置，对系统进行开环控制环节。工程上称 为前馈控制器。,系统的闭环传递函数：,变换结构图,又：,二、引入扰动补偿,目的：减小扰动作用 的稳态误差。,方法：由扰动输入端 通过 引入补偿这一控 制环节。此时，系统的扰动误差就是给定量为 零时系统的输出量。若此时全补偿就是希望 为零。,变换结构图,随动系统的补偿实例：,补偿前结构图,误差传递函数,输入函数为,开环传递函数,速度误差系数,系统的稳态误差,变换结构,闭环传递函数,误差传递函数,若取,输入函数为,则,系统的稳态误差,练习：1、设某温度计的动态特性可用一惯性环节 来描述。用该温度计测量容器内的水温，发现1min 后温度计的示值为实际水温的98%。若给容器加热，使水温以10/min的速度线性上升，试计算该温度计 的稳态指示误差。,