自动控制原理第9章.ppt
自动控制理论,华中科技大学文华学院,讲授人：范 娟,Company Logo,第九章 线性系统的状态空间与综合,华中科技大学文华学院,9.1 线性系统的状态空间描述,9.2 线性系统的可控性与可观测性,9.3 线性定常系统的线性变换,本章小结,引言,9.4 线性定常系统的反馈结构及状态观测器,Company Logo,引言,华中科技大学文华学院,经典控制理论,a.特点研究对象：单输入、单输出(SISO)线性定常系统。解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。非线性系统：相平面法和描述函数法。数学工具：微分方程、差分方程、拉氏变换、Z变换 b.局限性不能应用于时变系统、多变量系统。不能揭示系统更为深刻的内部特性。,Company Logo,a.特点研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、定常或时变、连续或离散系统。解决方法：状态空间法（时域方法）。数学工具：线性代数、微分方程组、矩阵理论。b.优越性：能描述系统内部的运行状态便于考虑初始条件（与传递函数比较）适用于多变量、非线性、时变等复杂大型控制系统便于计算机分析与计算便于性能的最优化设计与控制,引言,华中科技大学文华学院,现代控制理论,返回,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,一、系统数学描述的两种基本类型,内部变量,外部描述：输入输出描述（1-5章）,内部描述：状态空间描述。包括状态方程（反映内部变量和输入变量间因果关系）和输出方程（表征系统内部变量及输入变量和输出变量间转换关系）。,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,二、状态空间描述常用的基本概念,输入：外部对系统的作用（激励）；控制：人为施加的激励；输入分控制与干扰。输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息。若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。,状态：动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。,状态空间：以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程，它不含输入的微积分项。一般情况下，状态方程可以表示为,输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。输出方程的一般形式为,动态方程：状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式。一般形式为,Company Logo,线性定常系统：线性系统的A，B，C，D中的各元素全部是常数。即,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,线性系统：线性系统的状态方程是一阶向量线性微分或差分方程，输出方程是向量代数方程。线性连续时间系统动态方程的一般形式为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,分别写出状态矩阵A、控制矩阵B、输出矩阵C、前馈矩阵D:,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,注意：1、状态变量的独立性。2、由于状态变量的选取不是唯一的，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是，用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。例1 试确定图8-5中（a）、（b）所示电路的独立状态变量。图中u、i分别是是输入电压和输入电流，y为输出电压，xi为电容器电压或电感器电流。,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。对右图，x1=x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量。,解：并非所有电路中的电容电压和电感电流都是独立变量。对左图，假定电容器初始电压值均为0，有,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,三、线性定常连续系统状态空间表达式的建立,直接根据系统的机理建立相应的微分方程，然后选择有关的物理量作为状态变量，导出其状态空间表达式。,由已知的系统其它数学模型经过转化得到状态空间表达式。,两种方法：,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,1、根据系统机理建立状态空间表达式,例2 试列写如图所示RLC的电路方程，选择几组状态变量并建立相应的动态方程，并就所选状态变量间的关系进行讨论。,解：根据回路电压定律,电路输出量y为,1)设状态变量为电感器电流和电容器电压，即 则状态方程为,输出方程为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,其向量-矩阵形式为,2)设状态变量为电容器电流和电荷，即 则有,注意：系统状态空间表达式不具有唯一性，选取的状态变量不同，便会有不同的状态空间表达式。但可以推断，描述同一系统的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换关系。,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,例3 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）,根据牛顿第二定律,即：,选择状态变量,则：,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,机械系统的系统方程为,该系统的状态图如下,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,2、由系统微分方程建立状态空间表达式,（1）系统输入量中不含导数项,一般情况下，n 阶微分方程为：,Company Logo,华中科技大学文华学院,9.1 线性系统的状态空间描述,写成矩阵形式：,系统的状态图如下：,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,（2）系统输入量中含有导数项,选状态变量如右：,其展开式为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,对 式求导，有：,选取的状态变量要使状态方程中不出现输入导数项,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,记,故,则系统的动态方程为,式中,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,可以令上述公式中的h0=0得到结果，也可另外选取状态变量如下：,其展开式为,对x1求导且考虑原方程，有：,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,则系统的动态方程为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,例5 设二阶系统微分方程为，试求系统状态空间表达式。,解：,方法一,对 式求导，有：,使状态方程中不出现输入导数项,则有,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,则系统的状态空间表达式为,方法二,对 式求导，有：,则系统的状态空间表达式为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,3、由系统传递函数建立状态空间表达式,应用综合除法有,直接联系输入、输出量的前馈系数,严格有理真分式,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,（1）串联分解的情况,如图，取z为中间变量,选取状态变量,其状态空间表达式为,友矩阵,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,按下式选取状态变量,可控标准型与可观测标准型的各矩阵之间存在如下关系：,注意：的形状特征。若动态方程中的 具有这种形式，则称为可观测标准型。,（对偶关系）,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,可控标准型状态结构图,可观测标准型状态结构图,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,（2）只含单实数极点的情况,动态方程除了可化为可控标准型或可观测标准型以外，还可化为对角型动态方程，其A阵是一个对角阵。,若令状态变量 其反变换结果为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,其向量-矩阵形式为,其状态变量图如图所示,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,（3）含重实数极点的情况,动态方程除了可化为可控标准型或可观测标准型以外，还可化为约当标准型动态方程，其A阵是一个含约当块的矩阵。,其状态变量的选取方法与之含单实极点时相同，可得出向量-矩阵形式的动态方程：,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,四、线性定常连续系统状态方程的解,1、齐次状态方程的解,（1）幂级数法,设状态方程式的解是t的向量幂级数,式中 都是n维向量，且，则,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,式中,状态转移矩阵，记为(t),（2）拉普拉斯变换法,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,例6 已知，求,解：,(1)幂级数法,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,(2)拉普拉斯变换法,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,1),2),3),4),5),2、状态转移矩阵的性质,6),7),Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,即A为对角阵，且具有互异元素,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,3、非齐次状态方程的解,（1）积分法,零输入响应,零状态响应,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,若取 作为初始时刻，则有,进行拉氏反变换有,将 式两端取拉氏变换，有,（2）拉普拉斯变换法,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,五、系统的传递函数矩阵,定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系称为传递函数矩阵（简称传递矩阵）,表达式：设动态方程,令初始条件为零，求拉氏变换式：,传递函数矩阵表达式为,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,例7 已知系统动态方程为,试求系统的传递函数矩阵。,解：已知,故,Company Logo,9.1 线性系统的状态空间描述,华中科技大学文华学院,返回,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,用状态空间表达式描述系统，一般要考虑两个问题：,（1）在有限时间内，能否通过施加适当的控制量 将系统从任意初态转移到其它确定的状态上去？（可控性问题）（2）由于状态变量不是都可测量，能否在有限的时间内根据对输出 的测量来确定初态？（可观测性问题）,简单地说:如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统可控(状态可控).如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态可观测的.,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,（1）若，可以控制 并且通过耦合关系影响 达到间接控制，所以 都是可控制的。,（2）若，可以控制，不能影响，所以 不可控制的。,一、可控性与可观测性的基本概念,例1：已知一系统的状态方程,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,例2：电桥电路,电路动态方程：,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,当,输入电压同时控制,电路状态可控,当,当电桥平衡时，动态方程化简为,Company Logo,例3 电路如图所示，如果选择电容C1、C2两端的电压为状态变量，即：，电路的输出 为C2上的电压，即，则电路的系统方程为,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,系统状态转移矩阵为,系统状态方程的解为,可见，不论加入什么样的输入信号，总是有,Company Logo,例4 电路如图所示。选取 为输入量，为输出量，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,系统状态转移矩阵为,系统状态方程的解为,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出仅仅取决于其差值。当，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。,一般情况下，系统方程可以表示为,（1）,状态可控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间接关系）。,对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系，又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于C，还与A 有关。,状态能观测与否，不仅取决于C 阵（直接关系），还取决于A阵（间接关系）。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,可控性定义,给定系统一个初始状态，如果在 的有限时间区间 内，存在容许控制，使，则称系统状态在 时刻是可控的；如果系统对任意一个初始状态都可控，则称系统是状态完全可控的。,说明：,1）初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,2）如果在有限时间区间 内，存在容许控制，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态，则称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。,3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。,4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。,（3）,5）当系统中存在不依赖于 的确定性干扰 时，不会改变系统的能控性。,（4）,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,可观测性定义,说明：,Company Logo,2）如果根据 内的输出 能够惟一地确定任意指定状态，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,二、线性定常连续系统的可控性判据,定理2-1 上式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的nn维格拉姆矩阵满秩,（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）,1、状态可控性判据,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理2-2 线性定常系统 状态能控的充分必要条件是下面的nnr 维能控性矩阵满秩。,（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）,例1 考察如下线性定常系统的能控性,（1）,（2）,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理2-3（PBH判别法）线性定常系统 为状态能控的充分必要条件是，对A 的所有特征值，都有,定理2-4 如果线性定常系统 的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，它的状态方程,其中，不包含元素全为0的行。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理2-5 若线性定常系统 的系统矩阵具有重特征值，且对应于每一个重特征值只有一个约当块，则系统状态完全能控的充要条件是，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形,其中，矩阵中与每个约当块最后一行相对应的那些行，其各行的元素不全为零。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。,定理2-4、定理2-5不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,1、输出可控性判据,设系统的状态空间表达式为,定义 如果在一个有限的区间t0,t1内，存在适当的控制向量u(t),使系统能从任意的初始输出y(t0)转移到任意指定最终输出y(t1)，则称系统是输出完全能控的。,判据 系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵,的秩为q,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,例2 判断系统,是否具有状态能控性和输出能控性。,秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。,秩为1，所以系统是状态不能控的。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理3-1 上式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即,其中,（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）,三、线性定常连续系统的可观测性判据,线性定常系统方程为,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理3-2 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵满秩。,例3 系统方程如下，试判断系统的能控性,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理3-3（PBH判别法）线性定常连续系统为能观测的充分必要的条件是：对于A 的每一个特征值，以下矩阵的秩均为n,定理3-4 若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系统状态能观测的充要条件是经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式,其中，矩阵不包含元素全为零的列。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,定理3-5 设线性定常系统的状态矩阵有不同的重特征值，且对应于每一重特征值只有一个约当块。则系统状态完全能观测的充要条件是，经线性等价变换将矩阵化成约当标准形后，系统的状态空间表达式中，与每个约当块第一列相对应的 矩阵的所有列，其元素不全为零。,Company Logo,9.2 线性系统的可控性与可观测性,华中科技大学文华学院,说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能观测性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能观测性时是等价的。2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。,定理3-4、定理3-5不仅可以判断系统可观测性，而且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。,返回,
