算符及其运算规则.ppt

第三章 量子力学中的力学量,3-1 算符及其运算规则 3-2 厄米算符的本征问题 3-3 坐标算符和动量算符 3-4 角动量算符 3-5 共同完备本征函数系 力学量完全集 3-6 力学量的平均值 3-7 展开假定 3-8 不确定关系 3-9 电子在库仑场中的运动 3-10 氢原子问题 3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律,3-1 算符及其运算规则,一、算符二、算符的运算规则三、算符的对易关系,3-1 算符及其运算规则,一、算符,若某一运算将函数 变为函数，记为,则表示这一运算的符号 称为算符。,动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符,量子力学中，算符表示它对波函数的一种运算或者操作。如动量算符表示对波函数的微商运算。,如果算符满足,称为线性算符。,量子力学中的可观测量（也称为力学量或物理量，如坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，而且对应的算符都是线性算符。这是量子力学的一个基本假设。,力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。,二、算符的运算规则,1单位算符,称为单位算符。显然，任意波函数皆为单位算符的本征态，且本征值为1。,2算符之和,对任何波函数，有,称算符 为算符 和算符 之和。,算符的加法运算满足,交换律：,结合律：,对任何波函数，有,3算符之积,对任何波函数，有,称算符 为算符 和算符 之积。,一般情况下,这是算符运算与普通代数运算的重要区别。,4算符之幂,定义：算符 的 次幂,满足,5逆算符,设,称算符 为算符 的逆算符。,注意：并非所有的算符都具有相应的逆算符，只有当算符的本征值都不为零时才存在逆算符。,满足,6算符的共轭,对任意的波函数 和 以及算符，令,定义算符 的共轭 满足,即,7厄米算符,若算符 等于其共轭，即,则称算符 为厄米算符或自共轭算符。,引入厄米算符的意义在于，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米的。,例1求常数算符 的共轭。,即,所以，常数算符的共轭等于其复共轭。,例2求微分算符 的共轭。,解：,解：,所以,由此例可以看出，算符 的共轭为,例3证明：。,解：,因为,所以,推广,例4求算符 的共轭。,解：,由例2和例4可以看出，动量算符和角动量算符都是厄米算符。,三、算符的对易关系,1对易关系,引入符号,称为算符 和 的对易关系或对易子。,如果，则称算符 和 是对易的（或可交换的）；否则，称 和 是不对易的。,例如，对于坐标与动量算符，显然有,根据所研究的对象不同，有时要用到两个算符的反对易关系，其定义为,2量子力学基本对易关系,对于任意的状态，有,所以,此即著名的海森堡对易关系，它是量子力学最基本的对易关系。,因为,所以，因此,用类似的方法可知，时间与能量的对易关系为。,例5计算对易关系。,解：,所以,3对易关系代数的运算规则,例6计算。,解：,利用例5结果，也可以求得,例7计算。,解：,定义轨道角动量算符，则其分量形式为,例8计算、。,解：,引入记号（反对称三阶张量），定义,总结起来，有,例9计算、。,解：,总结，有,解：,例10计算。,总结，有,因为,所以，上式也可写成,解：,例11角动量算符平方算符，计算。,总结，有,