简单曲线的极坐标方程.ppt

简单曲线的极坐标方程,3、极坐标与直角坐标的互化公式,复习,1、极坐标系的四要素,2、点与其极坐标一一对应的条件,极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。,探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,M,A,(,),曲线的极坐标方程,一 定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0；（）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线上。则曲线的方程是f(,)=0。,二 求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样建系（适当的极坐标系）设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）将等式坐标化化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）,例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？,你可以用极坐标方程直接来求吗？,练习1,求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为2；()中心在(a,0)，半径为a；()中心在(a,/2)，半径为a；()中心在(0,)，半径为r。,2,2acos,2asin,2+0 2-2 0 cos(-)=r2,解:设P(,)为圆周上任意一点,如下图所示,在OCP中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即r2=21+2-21cos(-1).也就是2-21cos(-1)+(21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.,练习2,1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(),（）,A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆,D,（）,C,思考：在平面直角坐标系中过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为;过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为,x=3,y=3,四 直线的极坐标方程：,例1：求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。,（2）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。,（3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。,和,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,例2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做）,解：如图，建立极坐标系，设点,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,为直线L上除点A外的任意一点，,连接OM,交流做题心得归纳解题步骤：,求直线的极坐标方程步骤,1、据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,练习1求过点A(a,/2)(a0)，且平行于极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，建立极坐标系，设点 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,sin a,IOMI sinAMO=IOAI,课堂练习2 设点A的极坐标为，直线 过点,解：如图，建立极坐标系，设点,为直线 上异于A点的任意一点，连接OM，,在 中，由正弦定理 得,即,显然A点也满足上方程,A且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,化简得,例3：设点P的极坐标为，直线 过点P且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,的任意一点，连接OM，则,为直线上除点P外,由点P的极坐标知,设直线L与极轴交于点A。则在 中,由正弦定理得,显然点P的坐标也是上式的解。,即,练习3 求过点P(4,/3)且与极轴夹角为/6的直线 的方程。,直线的几种极坐标方程,1、过极点,2、过某个定点垂直于极轴,4、过某个定点，且与极轴成的角度a,3、过某个定点平行于极轴,sin a,小结：（）曲线的极坐标方程概念（）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程,