等差数列的前n项求和公式.ppt

等差数列的前n项求和公式,复习,1、等差数列的通项公式,2、等差数列的性质,数列a中m+n=p+q，则am+an=ap+aq,若a1为首项，d为公差，则an=a1+(n-1)d,当p=q时，m+n=2p，则am+an=2ap，称ap为等差中项,分析：高斯是如何很快的解出其结果的呢？,问题：123100？,引入,首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：,高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和，求:1+2+3+4+n=?,如果令 Sn=1+2+3+.+（n-2）+（n-1）+n,颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+.+3+2+1,则,倒序相加法,将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+.+（n+1）,推导,下面对等差数列前n项公式进行推导,设等差数列 a1,a2,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an(1)若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+a2+a1(2)由(1)+(2)得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2)得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即 Sn=n(a1+an)/2,如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2,所以，等差数列的前n项求和公式是,或,例题,例1 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？例2 已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220.求等差数列的前n项和的公式例3 求集合M=m|m=7n,n是正整数,且m100的元素个数,并求这些元素的和.,解：将题中的等差数列记为an，Sn代表该数列的前n项和，则有a1=10,d=6(10)=4,设数列的前n项和为54，即Sn=54,根据等差数列的前n项求和公式,代入Sn=54，a1=10，d=4整理得，n26n27=0,解得n1=9,n2=3(舍去),因此，等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,解:由题，等差数列的前10项和S10=310，前20项和S20=1220,根据等差数列的前n项求和公式,得,解得 a1=4，d=6,因此，等差数列的前n项和的公式是,将此结果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)3=3n2+n,解:根据题意，由7n100 得 n1007,由于满足它的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个.即,7,14,21,91,98,这是一个等差数列,各项的和是,因此，集合M中的元素共有14个,它们的和为735.,=735,由于 Sn=n(a1+an)/2 整理可得,Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均为已知数,若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn,将等差数列的前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和的极值:,探究,例1.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和的.问此数列前多少项的和最大?分析：S3=S11,这里可以找出a1与d的关系,则Sn是d的函数,由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大,即 n=7,练习,1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20,2、一个项数为36的数列的前四项和是21，后四项和是67，求这个数列的和。,3、an是等差数列，S100,S110,则求使an0的n的最小值,总结,1.推导等差数列前 n项和公式的方法,-倒序相加法,2.公式的应用中的数学思想.,-方程、函数思想,3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知 其中三个量，可以求其余两个,-知三求二,作业,A组2、4、5,谢谢观赏,