等差数列前n项和的性质.ppt
第二章 数 列,2.3 等差数列前n项和的性质,1.等差数列的递推公式是什么？,an1an12an（n2）,an an1d（n2）,【问题提出】,2.等差数列通项公式是什么？结构上它有什么特征？,在结构上是关于n的一次函数.,ana1(n1)dam(nm)dpnk.,3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？,4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.,思考1：若数列an的前n和 那么数列an是等差数列吗？,an是等差数列,【知识探究】,知识探究（一）等差数列与前n项和的关系,思考2：将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时，Sn是常数项为零的二次函数.,思考3：一般地，若数列an的前n和SnAn2Bn，那么数列an是等差数列吗？若SnAn2BnC 呢？,（1）数列an是等差数列 SnAn2Bn,（2）数列an 的前n项和是SnAn2BnC，则：,若C0，则数列an是等差数列；,若C0，则数列an从第2项起是等差数列。,思考4：若an为等差数列，那么 是什么数列？,数列an是等差数列 为等差数列,即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差是数列an的公差的一半。,知识探究（二）等差数列前n项和的性质,思考1：在等差数列an中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1a2ak，ak+1ak+2a2k，a2k+1a2k+2a3k，是等差数列吗？,性质：若数列an是等差数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k,仍然成等差数列,思考3：在等差数列an中，设S偶a2a4a2n，S奇a1a3a2n1，则S偶S奇与 等于什么？,S偶S奇nd,思考2：在等差数列an中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？,S3n3(S2nSn),思考4：设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，则 等于什么？,思考5：在等差数列an中，若a10，d0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？,当ak0，ak10时，Sk为最大.,【题型分类 深度剖析】,题型1：等差数列前n项和性质的简单应用,例1：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13 B.12 C.11 D.10,变式探究,1.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有()A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51,2.等差数列an 前n项和Snan2(a1)na2，则an.,3.等差数列an中，已知S42，S87，则S12=_；,4.等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130 B.170 C.210 D.260,5.等差数列an中，Sn是其前n项和，a12011，则S2011的值为()A.0 B.2011 C.2011 D.20112011,题型2：等差数列最值问题,例2：等差数列an中，a10，S9S12，该数列前多少项的和最小？,又nN*，n10或n11时，Sn取最小值,小结：求等差数列an前n项和Sn的最值常用方法：,方法1：二次函数性质法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质,方法2：讨论数列an 的通项，找出正负临界项。,（1）若a10，d0，则Sn有大值，且Sn最大时的n,满足an0且an+10;,（2）若a10，则Sn有小值，且Sn最小时的n,满足an0且an+10;,变式探究,1.首项为正数的等差数列an，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前_项和最大？,2.等差数列an 前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|0的n的最大值为_,3.等差数列an中，已知|a7|=|a16|=9，且a14=5，则使an0的最大自数n=（）A.10 B.11 C.12 D.13,4.设等差数列an的前n项和为Sn，若a112，S120，S130.（1）求数列an公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3，S12中哪一个值最大。,5.数列an首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.（1）求数列an的公差d；（2）求前n项和Sn的最大值；（3）当Sn0时，求n的最大值；,题型3：等差数列中的an与Sn的关系,例3：Sn，Tn分别是等差数列an、bn的前n项的和，,且，则,.,1.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得 为整数的正整数n的个数是()A2 B3 C4 D5,变式探究,例4：已知数列an的前n项和Sn12nn2，求数列|an|的前n项和Tn.,当n1时，a1S1121211；当n2时，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1时适合上式，an的通项公式为an132n.由an132n0，得n，即当1n6(nN*)时，an0；当n7时，an0.,解析：,题型4：求等差数列的前n项的绝对值之和,(1)当1n6(nN*)时，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.,(2)当n7(nN*)时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.,变式探究,1数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.,(1)由an22an1an0得，2an1anan2，所以数列an是等差数列，d 2，an2n10，nN*.,解析：,当n6，nN*时，,题型5：等差数列的综合应用,22得4anan2an122an2an1，即(anan1)(anan12)0.an0，anan10，anan12，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an1(n1)22n1.,变式探究,
