稳定性是系统本身的性质之一与激励信号无关稳.ppt

稳定性是系统本身的性质之一，与激励信号无关。稳,3.6 LTI系统的稳定性,是单位冲激响应绝对可积：,系统就是不稳定的。LTI系统BIBO稳定的充分必要条件,称BIBO）的系统。如果对有界激励，系统的响应无界，,普遍采用的稳定系统定义：有界输入产生有界输出（简,几种不同的提法，但是没有实质性的差别。这里给出,定系统也是一般系统设计的目标之一。稳定性的概念有,将系统稳定性分为三类。,上式中,以既可由,为一有界的实数。满足此式的，一定是随时间,衰减的函数，即,。LTI系统的系统函数与单位,冲激响应集中表征了系统特性，稳定性也必在其中。所,的不同情况，也可由,的极点分布，,一、系统稳定性分类,1稳定,由3.6零、极点分析可知，若的全部极点在的左半,平面（不含虚轴），单位冲激响应满足,系统稳定,1、系统稳定性分类,(1)稳定,由3.6零、极点分析可知，若的全部极点在的左半,平面（不含虚轴），单位冲激响应满足,系统稳定,(2)不稳定,系统不稳定。,若,有极点落在右半平面，或者,轴、原点处有二阶,以上重极点，则单位冲激响应,(3)边（临）界稳定,，但,为使分类简化，可将其归为非稳定系统。,其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的正弦振荡。因为,3是处于1、2两种情况之间，故称边（临）界稳定。,例如纯网络，,二、稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系,设：,根，对应因式为,系统函数,实部应为负值。它的根一般有下面两种情况：一是实数,二是共轭复根，对应因式为,所以,、,必为正值。综上所述，将,分解后，只有,、,两种情况，且,、,、,均为正值。,这两类因式相乘后，得到的多项式系数必然为正值，并,且系数为零值的可能性也受到了限制。由此我们可得到,(1),(2)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。,的系数,全部为正实数。,以上是系统稳定的必要条件。,判断。当系统为一阶、二阶系统时，系数,如果给定,系统稳定的充分必要条件。,表示式，由此可对系统稳定性作出初步,例3-24 已知系统的,(3),如下，试判断是否为稳定系统？,(2),(1),就是,解1 分母有负系数所以为非稳定系统,解2,解3 满足稳定系统的必要条件，是否稳定还需进一步,进行分解,定系统。,中缺项，所以不是稳定系统。,分解检验。对,可见,有一对正实部的共轭复根，所以系统3为非稳,系统稳定性变化。,解,整理上式，得,例3-24 如图3-28所示反馈系统，讨论当,从零增长时,将,代入上式，得,由此得到：,其中：,代入具体值讨论：,，,，系统不稳定；,界稳定；,为具有负实部的共轭复根，系统稳定。,代入具体值讨论：,时，反馈支路开路，系统无负反馈，极点为,，,时，系统加大了反馈，极点为,，,，,、,系统稳定；,时，系统进一步加大了反馈，极点为,系统临,推得一般结论：系统加负反馈可以增加系统的稳定性。,以上分析可知,系统稳定，,系统不稳定。可以,系统稳定的相同结论。,由二阶系统稳定的充分必要条件,，亦可得到,例3-25 系统具有反馈环路，也称闭环系统。若断开系统,中的反馈支路，则系统为开环系统。通过以上分析知道，,着变化，系统的稳定性也会发生改变。随着闭环系统函,移动的路径称根轨迹，如图,3-29就是例3-25系统,-2-0.5,0 1,的根轨迹图。,的特征根（极点）在s平面,MATLAB的程序，可以很方便的利用开环系统函数，,由系统的根轨迹研究系统的稳定性，有独到之处。但对,有若干极点的复杂系统，作根轨迹图并非易事。借助,如下,作出闭环系统的根轨迹。例3-25根轨迹的MATLAB程序,a=1 1-2;%开环分母多项式系数,b=0 0 1;%开环分子多项式系数,rlocus(b,a);%根轨迹,title(例3.6-2根轨迹),例3-25的根轨迹如图3-30所示。,四、罗斯稳定性准则,确值，只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就,项工作往往很繁，尤其求高阶系统的特征根不容易。实,际上为了判断系统稳定性，不需要解出方程全部根的准,否稳定。,只判别具有正实部根数目的方法，可以用来判断系统是,可以。1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值，,列数字符号相同。,“罗斯阵列”排写如下：,若,是多项式的全部系数大于零；无缺项；罗斯阵列中第一,罗斯准则（判据）为,“罗斯阵列”排写如下：,第一行,第二行,第三行,第四行,第五行,第n+1行,排在第二行。第三行以后的系数按以下规律计算：,其中罗斯阵列前两行由,多项式的系数构成。第一行,由最高次项系数,及逐次递减二阶的系数得到的。其余,；,；,依次类推，直至最后一行只剩下一项不为零，共得n+1,行。即n阶系统，罗斯阵列就有n+1行。,有符号不相同，则符号改变的次数就是具有正实部根,的数目。,例3-26 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根。,解：全部系数大于零，无缺项。,n=4，排出n+1=5行。,罗斯阵列为,第一行 2 12 2,第二行 1 8 0,第三行,第四行,第五行,0,0,0 0,有两个正实部的根，为非稳定系统,借助MATLAB程序，求出极点并作出系统函数的极点分,的MATLAB程序及结果如下,布图，可以验证上面的结论。例3-26系统的零、极点图,a=2 1 12 8 2;%多项式系数,r=roots(a)%极点,pzmap(1,a)%极点图,-0.3385+0.2311i,答案,由答案及图3-31可见确实有两个实部大于零的极点。,r=0.0885+2.4380i,0.0885-2.4380i,-0.3385-0.2311i,3.7 连续时间系统的模拟及流图表示,在实际工作中，除了在理论上对线性系统进行数学分析,实效。,对系统的影响。这种方法往往比繁冗的数学运算更具有,进行观察，以直观了解各种激励对响应的影响以及参数,外，往往还通过计算机模拟（仿真）对系统的特性进行,1、连续时间系统的模拟（仿真）,用系统的观点来分析问题时，我们可以把系统看做一个,输入、输出之间的转换关系，如图3.-32所示。,“黑盒子”，不管它们内部的具体结构、参数，关心的是,通过实例说明，不同的结构和参数的系统可以具有相同,输入、输出关系。,+,-,+,-,+,-,+,-,例3-27 分别求如图3-32、3-33所示RL、RC电路的系统,函数。,解,这是两个结构、参数不同的一阶系统，但由于它们传输,型都是一阶微分方程,函数相同，因此它们的输入输出关系完全相同，数学模,n阶LTI系统微分方程的一般形式为,其系统函数为,要对连续LTI系统进行模拟,就要对它的系统传输函数或,为此可以选择实际上容易实现的结构进行模拟,入输出关系的系统，系统实现的结构、参数不是唯一的，,微、积分方程进行模拟。从上面的例子知道具有相同输,用三种基本运算，就可对LTI系统微分方程式的运算关系,基本运算的模拟开始。,程描述,亦可由基本运算器组成的模拟图描述。下面先从,器、积分器。描述系统的输入、输出关系既可用数学方,它们对应着三种基本模拟运算器件：加法器、标量乘法,作系统模拟。这三种基本运算是加法、标量乘法与积分。,加法器如图3-34所示。,1、加法运算关系,2、标量乘法运算关系,标量乘法器如图3-35所示,3、积分运算关系,积分器如图3-36所示,2、系统模拟的直接形式(微分方程形式),(1)全极点系统模拟的直接形式,一阶系统的微分方程及系统函数表示,将一阶线性线性系统的微分方程改写为,与复频域模拟图，如图3-37所示,将,做为积分器输入，得到用基本运算器组成的时域,一阶系统模拟的方法可推广至全极点的二阶系统模拟，,其微分方程及系统函数为,改写微分方程,如图3.-38所示。,由二阶系统模拟可推广至全极点,及系统函数为,阶系统，其微分方程,阶系统模拟如图3-39所示。,2、一般系统模拟的直接形式,以上模拟实现了系统的极点，实际系统除了极点之外，,将上式改写为,式3.7-8的模拟如图3-40所示,一般还有零点。例如一般二阶系统的系统函数为,由一般二阶系统的模拟不难推广到,的模拟如图3-41所示,阶系统，,阶系统,在系统模拟图中，,时，实际为短路。,时，实际为开路；,3、其他形式的模拟,复杂系统往往由多个子系统组成，常见的组合形式有,通常用方框图表示子系统与系统的关系。,可以简化复杂系统的表示，突出系统的输入输出关系，,子系统的级联、并联、混联、反馈等。由于用方框图,(1)级联形式,级联模拟实现方法是将分解为子系统（基本节）相乘。,是的子系统。也有将级联形式称为串联形式。,上式表明级联的系统函数是各子系统函数的乘积，子,式中,系统的级联如图3-42所示。,子系统模拟的基本形式有两种，一是实单极点的一阶模,将各子系统串联起来,可得系统模拟图，称为级联模拟图。,则是系统内所有参数为实数。利用基本形式的模拟，再,拟，二是共轭极点组成的二阶模拟，子系统模拟构成原,例3-28已知某系统函数为,级联模拟图。,，画出其,解,子系统的级联的一种形式如图3-28所示。,2、并联模拟,并联模拟实现方法是对 部分分式展开,是的子系统。,子系统模拟的基本形式同级联模拟。整个系统可以看,个子系统的迭加(并联),其中每个子系统可按上面,式中,成,的子系统模拟,这种形式称为并联形式。,子系统的并联图如图3-44所示。,例3-29 已知某系统函数为同例3-28，画出其并联模拟图。,解,例3-29系统的并联式如图3-45所示。,3、混联,混联系统的系统函数计算要根据具体情况具体对待。如,图(b)的系统函数为,图(a),图3.-46(a)、(b)所示系统。,图(a)的系统函数为,图(b),4、反馈系统,由子系统组合的反馈系统方框图如图3-47所示。,各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同。例如，微分方程(直接形式)可调整的是微分方程的系数、；级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系统的极点与留数。在实际工作中可根据各种因素,适当选择模拟方式达到较好的系统设计效果。,其系统函数为,各种模拟方法的实现不同，调整的参数有所不同。例如，,统的极点与留数。在实际工作中可根据各种因素,适当选,微分方程(直接形式)可调整的是微分方程的系数,；,、,级联形式可调整系统的极点与零点；并联形式可调整系,择模拟方式达到较好的系统设计效果。,4、连续系统的信号流图表示,在方框图中，系统函数可以由各子系统与连接方式决定。,可以将方框图与模拟图再加以简化。,定。方框图和模拟图表示还不是最简表示，用信号流图,在模拟图中，系统函数可以由各基本器件与连接方式决,统的具体处理方法是：用带箭头的有向线段代替模拟图,个节点的，表示相加或相减（传递系数有负号）。,传递系数直接标在箭头旁；有两个以上有向线段指向一,与输出；线段箭头的方向是信号传输的方向，原方框的,中的方框；线段的两个端点是节点，表示原方框的输入,信号流图是用节点与有向支路描述系统。用流图表示系,前面的方框图与模拟图都可以用流图表示，例如 二阶系,统的流图如图3-48所示。,n阶系统模拟的流图如图3.-49所示,例3-28的流图如图3-51所示。,例3-29系统的级联流图,如图3-53所示。,-1,-2,-1,2,