离散型随机变量.ppt
为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.,例 电脑寿命可用一个连续变量 T 来描述.,例 检测一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散 变量来描述,第二章 离散型随机变量,第一节 随机变量,设 是试验E的样本空间,若,则称 X()为 上的 随机变量,r.v.一般用大写字母 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示.,定义,简记 r.v.X.,此映射具有如下特点,表示“某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次”这一事件,为事件A 的示性变量,=儿童的发育情况,X()身高,Y()体重,Z()头围.,各 r.v.之间可能有一定的关系,也可能没有关系 即 相互独立,离散型,非离散型,r.v.分类,引入 r.v.重要意义,任何随机现象可 被 r.v.描述,借助微积分方法 将讨论进行到底,2.2离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,分布律的性质,X,或,F(x)是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk.,其中.,解,例1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.,首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概率分布与 p=0.4 时的分布函数.,令 X 表示,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,1,用分布律或分布函数来计算事件的概率,例2 在上例中,分别用分布律与分布函数计 算,解,或,此式应理解为极限,一、0 1 分布,是否超标等等.,凡试验只有两个结果,常用0 1,分布描述,如产品是否合格、人,口性别统计、系统是否正常、电力消耗,0 p 1,或,2.3 二项分布,二、二项分布,n 重Bernoulli 试验中,X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数,P(A)=p,若,则称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作,01 分布是 n=1 的二项分布,二项分布的取值情况,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,此时的 称为最可能成功次数,设,由图表可见,当 时，,分布取得最大值,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,当(n+1)p 整数时,在 k=(n+1)p 处的概率取得最大值,例4 独立射击5000次,命中率为0.001,解(1)k=(n+1)p,=(5000+1)0.001=5,求(1)最可能命中次数及相应的概率；,(2)命中次数不少于1 次的概率.,(2)令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),本例启示,由此可见日常生活中“提高警惕,防火,由于时间无限,自然界发生地震、海,啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的,同样,人生中发生车祸、失恋、患绝,症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常,现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而,防盗”的重要性.,事，不用奇怪，不用惊慌.,跳楼自杀.,则对固定的 k,设,一、Possion定理,Poisson定理说明若X B(n,p),则当n 较大，p 较小,而 适中,则可以用近似公式,问题 如何计算？,2.4 泊松定理和泊松分布,由题意,多少个产品？,得 n+1=6,n=5,故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.,应用Poisson定理,在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,在Poisson 定理中，,由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布,二、Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,在某个时段内：,大卖场的顾客数；,某地区拨错号的电话呼唤次数；,市级医院急诊病人数；,某地区发生的交通事故的次数.,一个容器中的细菌数；,一本书一页中的印刷错误数；,一匹布上的疵点个数；,放射性物质发出的 粒子数；,都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为 Poisson 流,在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P(t),例2 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.,已知X P()，且每个虫卵发育,成幼虫的概率为 p.,求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.,解,昆虫,X 个虫卵,Y 个幼虫,已知,由全概率公式,故,若离散型随机变量 的分布律为其中 NM，n N-M，s=minM，N，则称 服从超几何分布。,定理 在超几何分布中，设n固定不变，M依赖于N的变化，且极限 存在，则有,2.5 超几何分布,定义 满足一下条件的称为负二项分布（1）.实验包含一系列独立的实验；（2）.每个实验都有成功、失败两种结果；（3）.成功的概率是恒定的；（4）.实验持续到r次成功，r为正整数.当r是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，其概率函数为它表示，在一连串伯努利试验中，第r次成功正好出现在第k次试验，前k-1次试验中有r-1次成功.取r=1，负二项分布等于几何分布。其概率函数为 P39例,2.6 负二项分布（帕斯卡分布）,定义 若已知，且函数 的一切可能值两两不等，则(i=1,2,)就是Y的概率分布，否则将各相等的 值对应的概率相加，即可得到的概率分布P40 例,2.7 函数分布,
