矩量法MethodofMoment课件.ppt

第二章 矩量法(Method of Moment)2.1 引言2.2 矩量法的一般过程2.3 选配和离散过程2.3.1 点选配2.3.2 脉冲分域基2.3.3 三角形函数分域基2.4 算子研究2.4.1 近似算子2.4.2 扩展算子2.4.3 微扰算子,矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这里先举一个简单的例子。,例1无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘，在中心线距离d处有一点电荷，如图5-17-1所示，求解导体圆盘上的电荷分布。解 假设导体圆盘上电荷密度为，根据电磁学的基本概念可知：(1)由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位e 和导体圆盘本身感应电荷密度所产生的电位i之和U 在盘上处处相等，即保证导体圆盘是等位面。(2)由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi0，其中,图5-17-1导体圆盘上的电荷分布(5-17-1)(5-17-2)(5-17-3),于是，问题可写为(5-17-4)式中r=，其中打撇的表示源点，不打撇的表示场点。这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，因为未知量 处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此，把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带(如图5-17-1所示)，并假定每一部分内的电荷密度(i=1,2)近似为常数，于是(5-17-5)式中(5-17-6),称为脉冲函数，这时问题方程(5-17-4)成为(5-17-7)(5-17-8)把问题方程(5-17-4)近似的转化为式(5-17-7)和式(5-17-8)的过程称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点r表示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式(5-17-7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-17-7)和方程组(5-17-8)内只有三个未知数、和，于是方程组超定。,为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说来，即在每个离散的单元上只选取一个场点作为代表来建立方程。例如，在例1中对于离散的 和 分别取 和 两点做试验点，如图5-17-2所示。具体写出方程组(5-17-9)其中,图5-17-2 圆盘上的试验点,其中 表示 面元电荷在 处产生场的自作用单元；表示 面元电荷在 处产生场的自作用单元；表示 面元电荷在 处产生场的互作用单元；表示 面元电荷在 处产生场的互作用单元。,又有(5-17-14)经过离散化过程和选配过程，将积分方程组(近似地)转化为矩阵方程(5-17-15)由此得出电荷分布的解为(5-17-16),图 5-17-3 矩量法的一般过程图5-17-3所示的矩量法求解问题的一般过程。讨论(1)矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分方程或其他方程。但必须能抽象成算子方程。从这一点而言，它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转化为矩阵方程加以解决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速下降线所构成的积分方程 不是线性泛函，所以无法采用矩量法。(2)电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源的距离增加而减少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用单元 比互作用单元 所起的作用要大。这一点在概念上十分重要。,矩量法的研究对象是一般非齐次方程(5-17-17)线性算子 的运算空间称为定义域，而 组成的空间称为值域。式(5-17-17)中 是已知的激励函数，为未知函数。令 在 的定义域内展开成 的组合，有(5-17-18),2.2 矩量法的一般过程,其中,表示矩阵转置，应该注意到：展开函数与基函数是有区别的。一般来说，基函数是一无限展开。从完备基转化为近似有限截断基已经构成误差了，再从有限截断基转化为有限展开函数就很难保证 能收敛于，这也是矩量法的研究中需要深入研究的一个问题。这里且写出(5-17-19),而,从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。,现在规定适当的内积。在算子L的值域内定义一类权函数(或检验函数),作用于式(5-17-19)两边，且取内积，有(5-17-20)这就是所谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由此而来，即把激励矢量 和 分别向权空间投影，取它的矩，根据矩的大小确定展开系数。如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式(5-17-20)写成矩阵形式(5-17-21)其中(5-17-22)于是可以解出(5-17-23),若规定函数矩阵(5-17-24)于是待求的函数为(5-17-25)矩量法的一般过程的数学表示如图5-17-4所示。十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：离散化程度；和 的选取；线性方程组的求解。在=的特殊情况下，可称为Galerkin(伽略金)法，于是矩量法也称为广义Galerkin法。,图5-17-4 矩量法一般过程的数学表示,例2研究，其中解 已经知道，此问题存在精确解 本例采用矩量法求解，选择 再选择权函数,即采用Galerkin法，内积定义为 于是可给出一般计算结果,归纳起来有,情况1：N=1,于是有,情况2:N=2,情况3:N=3,十分明显，N=3时已得到了精确解。矩量解的曲线如图5-17-5所示。,图5-17-5 u(x)矩量解,第二章 矩量法(Method of Moment)2.3 选配和离散过程2.3.1 点选配2.3.2 脉冲分域基2.3.3 三角形函数分域基2.4 算子研究2.4.1 近似算子2.4.2 扩展算子2.4.3 微扰算子,2.3 选配和离散过程 从上面的典型例子可知，矩量法的精华在于选配和离散过程，值得单独进行研究。点选配 点选配是一种最简单而最典型的选配函数。因为矩阵单元为，一般说来，其中所含的积分计算十分困难，这种情况下，最简单的办法是做某些点的投影，即所谓的点选配，实际上相当于把权函数取为 函数。,例3 任研究。解 设，在这个例子中取 函数为权函数即 其中，是这个问题的选配点，于是有,例3 任研究。解 设，可得到 在这个例子中取 函数为权函数即 其中，是这个问题的选配点，于是有,归结起来，可写出,情况1:N=1,情况2:N=2,情况3:N=3,可以得出,对于点选配情况N=3，又一次回复到精确解。,讨论(1)对于点选配的情况，N+1阶矩阵中的N阶主子阵并不等于在N时的系数矩阵(和Galerkin情况不同)。因此当N逐渐变大时计算量无法节约。(2)点选配虽然看起来非常简单，然而其内在的道理极其深刻。这一点可以从数值积分看出。研究表明任何数值积分方法，不论矩形、梯形、二次样条等，说到底都是选择积分区域的点和区域点所对应的系数，由此产生Gauss积分的思想。所以在矩量法中，研究最佳点选配将是一个十分有意义的课题。,脉冲分域基 矩量法在离散化过程中用展开函数取代基函数，带来了方便和自由。但是，随之而来的如何确保解的收敛性的问题却值得人们重视。在尚未了解u(x)函数性态的条件下，采用有限个展开函数ui(x)，i=1，2，.，N时要确保解收敛显然在理论上存在不少困难，采用分域基函数可以说是比较稳妥的一种解决方案。因为大多数良态函数(不做高速振荡)均可以采用有限段直线或样条加以逼近，如图5-17-6所示。,图5-17-6 分域基函数近似,下面从最简单的脉冲函数着手展开讨论。一般的脉冲函数可以表述为,(5-17-26),式(5-17-26)表示以i为中点，密度为1/(N+1)的脉冲函数，在实际情况下，密度可以根据问题灵活改变，如图5-17-7所示。,图5-17-7 脉冲函数 图5-17-8 三角形函数,三角形函数分域基三角形函数也是常用的一种分域基，如图5-17-8所示。若采用三角形函数展开未知函数(x)，则有(5-17-27)所得的解的合成相当于折线连接，分段三角形函数所得的折线包络如图5-17-9所示。为了研究具体例子，这里先给出三角形函数的导数概念。引入如图5-17-10所示的阶梯函数H(x-xi)，其定义为,图5-17-9 分段三角形函数所得的折线包络,图5-17-10 H(x-xi)函数,(5-17-28),再引入大家熟悉的Dirac-函数，也即脉冲函数，其定义为(5-17-29),如图5-17-11所示。,图5-17-11(x-xi)函数,Dirac-函数有两个重要的性质：1.归一性(5-17-30)2.选择性(5-17-31)这里不加证明的给出Dirac-函数和阶梯函数之间的重要关系。(5-17-32)有了以上基础就可以把三角形函数的导数用阶梯函数H表示，具体为(5-17-33),图5-17-12给出形象的几何表示。,图5-17-12 三角形函数导数的几何表示,例4 重新研究Harrington(哈林登)问题，L(u)=g，其中L=，g=，边界条件为u(0)=u(1)=0。试用以三角函数作为展开函数，脉冲函数作为权函数的矩量法求解。,解 根据要求可写出 于是有 上式已计及 选择权函数于是矩阵单元 上式要分三种情况讨论。,此外，激励单元为 结果可归纳为,情况1：N=1 考虑到对比：则有 和 的对比如图5-17-13所示。,图 5-17-13 和,情况2：N=2l=g=容易得到 同样对比有 和 的 对比图如图5-17-14所示。,图 5-17-14 和,情况3：N=3 于是有 同样对比有 和 的 对比图如图5-17-15所示,图 5-17-15 和,讨论 分域基在N不大的情况下与精确解的差距是明显的。但是它的相应矩阵是三条带矩阵，可较明显地缩小计算量。因此选择N不大的分域基并进行顶点拟合将会是一个比较好的方案。,2.4 算子研究 算子方程是矩量法建模的关键。它应该有两个方面的要求：一方面算子方程必须符合物理(或工程)问题的主要本质；另一方面它又必须适合数值计算。这两个方面构成了算子研究的基础。,2.4.1 近似算子 细心的读者一定会提出这样一个问题，即例4中为什么不采用脉冲函数作为分域基展开？其实原因十分简单，因为脉冲函数的二阶导数表示有很大困难。但是，倘若引进近似算子的概念，则可以较好地解决这个问题。算子近似含义相当广泛。作为例子，可采用有限差分代替微分。,例5 研究 的Harrington问题，即,试采用差分近似算子,脉冲展开点选配的矩量法求解。（做一般了解）解 为确保 的边界条件，在两端各留出半段为强制零段。因此当选择N个脉冲函数时，全部区域(0,1)应分成(N+1)段。即 于是有,且做点选配有,这样可以获得矩阵单元 的表示式,可以归纳为,情况1：N=1=8，于是得到 对比 这里的 和 的对比如图5-17-16所示 表面看来，与图5-17-13类似，实际上脉冲函数和三角函数意义有很大不同，又注意到图5-17-16中 和 各强制置零半段。,图5-17-16 和,情况2:于是有 对比 和 如图5-17-17所示。,图5-17-17 和,情况3:于是有 作为对比有 和 的对比如图5-17-18所示。,图5-17-18 和,扩展算子 算子包括定义域和运算域。如同数学上经常所做的那样，可以采用扩展算子来增加展开函数或权函数选择的自由度。原算子和扩展算子的逻辑关系如图5-17-19所示。很明显，扩展算子不改变原算子的运算。,图5-17-19 原算子和扩展算子的逻辑关系,例6 希望Harrington问题 采用脉冲函数作为展开函数的并引入扩展算子概念。（做一般了解）解 从上面论述中已知 在原来的定义域中不存在。但深入研究矩量法后发现，矩量法并不要求 有定义，而只要内积 有定义即可。(5-17-36)于是可以放松要求为，所选择的权函数 满足定义域，即(5-17-37)则可引入扩展算子(5-17-38),从而避免 问题，于是设,则可知矩阵单元为,以及激励单元,归纳起来是 它和三角函数展开脉冲函数检验所得到的公式差距极其细微。当N增大时，彼此相当接近。情况1:这种情况与 完全吻合。,情况2:容易得到 同样对比有 完全吻合。,情况3：N3 于是有 对比 也完全吻合。,三种情况顶点解均完全吻合，内在原因值得研究。另一种扩展算子的思想是设法扩展算子L的定义域，例如在Harrington问题的研究中可以选择不满足边界条件u(0)=u(1)=0的展开函数体系。例7 采用扩展算子L定义域的思想求解Harrington问题。（做一般了解）,解 定义扩展算子(5-17-39)采用这种思想可不必顾及边界条件而选择(5-17-40)注意到扩展算子不会漏解，若u(0)=u(1)=0，则有 但是，它有可能增加其他解。严格边界条件使式(5-17-40)定义的Taylor展开不包括n=0的常数项。容易归纳,这种扩展算子对于N较小时逼近不甚理想。而当N4时，有 即可得出 它就是问题的精确解。,2.4.3 微扰算子微扰算子问题的提法是已知微扰原问题解(5-17-41)希望研究微扰后问题(5-17-42)其中 而为一阶小量，P为微扰算子。,可以写出(5-17-45)若忽略两阶小量P()，得到(5-17-46)则有(5-17-47)于是有解(5-17-48)实际上，这个解正是微扰法和矩量法的交叉结果。,