相似矩阵矩阵可对角化的条件.ppt

1,2 矩阵可对角化的条件,一、相似矩阵及其性质二、矩阵可对角化的条件,P2/11,2 相似矩阵可对角化的条件,一、相似矩阵及其性质,定义3.3 设A,B均为n阶方阵,若可逆矩阵P,使得 P1AP=B,(3.8)则称A与B相似,记作AB.性质3.1 基本性质1)反身性;定理3.5 若AB,则|A|=|B|;2)R(A)=R(B);3)A1 B1,A,B均可逆.,2)对称性;,3)传递性.,P3/11,2 相似矩阵可对角化的条件,若,推论 3.2,定理3.6 若AB,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.证明 AB 可逆阵P,使得P1AP=B,则l1,l2,ln 是A的n个特征值.,推论3.3 若AB,则AmBm,mZ.,P4/11,2 相似矩阵可对角化的条件,定理3.7 A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量.证明“”设可逆阵P,使 P1AP=L 为对角阵.将P按列分块:P=(p1,p2,pn),因而有于是有 Api=li pi,i=1,2,n.,二、矩阵可对角化的条件,P5/11,2 相似矩阵可对角化的条件,“”设p1,p2,pn为A的n个线性无关的特征向量,则有Api=li pi,i=1,2,n.即即AP=PL.又P可逆,则有 P1AP=L 为对角阵.,P6/11,2 相似矩阵可对角化的条件,推论3.4 若An的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似注1 A可对角化,但A未必有n个相异的特征值,如aE 可对角化,但其只有一个n重特征值.注2 若A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而A不一定可对角化,但若能找到n个线性无关的特征向量,则A仍可对角化.定理3.8 设li为An的 ni重特征值,i=1,2,m,n1+n2+nm=n,则 AnL(对角矩阵)R(liEA)=nni.证明“”AnL 可逆阵P使P 1AP=L,P7/11,2 相似矩阵可对角化的条件,即,即pij,i=1,m,j=1,ni 是方程组,的解.,P8/11,2 相似矩阵可对角化的条件,则,“”,的基础解系有ni个线性无关的向量,矛盾,因AL,由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,若,P9/11,2 相似矩阵可对角化的条件,A能否对角化?若能对角化,则求出可逆矩阵P,使P 1AP为对角阵.,例3.3 设,解,故A的全部特征值为l1=l2=1,l3=2,P10/11,2 相似矩阵可对角化的条件,将l1=l2=1代入方程组(lEA)x=0,解之得基础解系 x1=(2,1,0)T,x2=(0,0,1)T.将l3=2 代入方程组(lEA)x=0,其基础解系为x3=(01,1,1)T.由于x1,x2,x3线性无关,则A可对角化.,令,故,注 若令,即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.,P11/11,2 相似矩阵可对角化的条件,例3.4 x,y为何值时,解,与对角矩阵相似?,则l1=1,l2=l3=1.,x+y=0.,由定理4.8知,(l2EA)x=0 的,基础解系中有2个向量,因而R(l2EA)=1.,则有,