直线圆椭圆生成算法.ppt

第三章 直线、圆、椭圆生成算法,3.1直线段扫描转换3.2圆弧扫描转换 3.3椭圆弧扫描转换,3.1直线段的扫描转换算法,DDA算法 中点画线法 Bresenham画线算法,数值微分法（）,假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0),(x1,y1)，且都为整数。,(X i+1,Yi+k),(X i,Int(Yi+0.5),(X i,Yi),栅格交点表示象素点位置,。,。,。,。,数值微分(DDA)法,基本思想已知过端点P0(x0,y0),P1(x1,y1)的直线段Ly=kx+b直线斜率为这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法和一次舍入运算。,数值微分(DDA)法,计算yi+1=kxi+1+b=kxi+b+kx=yi+kx 当x=1;yi+1=yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；注意上述分析的算法仅适用于k 1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。当 k 1时，必须把x，y地位互换,数值微分(DDA)法,增量算法：在一个迭代算法中，如果每一步的x、y值是用前一步的值加上一个增量来获得，则称为增量算法。DDA算法就是一个增量算法。,数值微分(DDA)法,void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)int x；float dx,dy,y,k;dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx;y=y0;for(x=x0;xx1;x+)drawpixel(x,int(y+0.5),color);y=y+k;,数值微分(DDA)法,例：画直线段P0(0,0)-P1(5,2)x int(y+0.5)y+0.5000+0.5100.4+0.5210.8+0.5311.2+0.5421.6+0.5522.0+0.5,数值微分(DDA)法,缺点：在此算法中，y、k必须是float，且每一步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。,中点画线法,原理：,假定直线斜率0K1，且已确定点亮象素点P（Xp,Yp）,则下一个与直线最接近的像素只能是P1点或P2点。设M为中点，Q为交点现需确定下一个点亮的象素。,中点画线法,当M在Q的下方-P2离直线更近更近-取P2。M在Q的上方-P1离直线更近更近-取P1M与Q重合，P1、P2任取一点。问题：如何判断M与Q点的关系？,中点画线法,假设直线方程为：ax+by+c=0其中a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0由常识知：欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方，只需把M代入F(x,y),并检查它的符号。,中点画线法,构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c当d0，M在直线(Q点)上方，取右方P1；当d=0，选P1或P2均可，约定取P1；能否采用增量算法呢？,中点画线法,若d0-M在直线上方-取P1;此时再下一个象素的判别式为 d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c+a=d+a；增量为a,中点画线法,若dM在直线下方-取P2;此时再下一个象素的判别式为 d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c+a+b=d+a+b；增量为ab,中点画线法,画线从(x0,y0)开始，d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=a(x0+1)+b(y0+0.5)+c=F(x0,y0)+a+0.5b=a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算,可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。,中点画线法,void Midpoint Line(int x0,int y0,int x1,int y1,int color)int a,b,d1,d2,d,x,y;a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b;d1=2*a;d2=2*(a+b);x=x0;y=y0;drawpixel(x,y,color);while(xx1)if(d0)x+;y+;d+=d2;else x+;d+=d1;drawpixel(x,y,color);/*while*/*mid PointLine*/,中点画线法,例：用中点画线法P0(0,0)P1(5,2)a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6ixiyid1001210-33213431-15425,Bresenham画线算法,在直线生成的算法中Bresenham算法是最有效的算法之一。令 k=y/x，就0k1的情况来说明Bresenham算法。由DDA算法可知：yi+1=yi+k(1)由于k不一定是整数，由此式求出的yi也不一定是整数，因此要用坐标为（xi,yir）的象素来表示直线上的点，其中yir表示最靠近yi的整数。,Bresenham画线算法,设图中xi列上已用（xi,yir）作为表示直线的点，又设B点是直线上的点，其坐标为（xi+1,yi+1），显然下一个表示直线的点（xi+1,yi+1,r）只能从图中的C或者D点中去选。设A为CD边的中点。若B在A点上面则应取D点作为（xi+1,yi+1,r），否则应取C点。,为能确定B在A点上面或下面，令(xi+1)=yi+1-yir-0.5(2)若B在A的下面，则有(xi+1)0。由图可知 yi+1,r=yir+1，若(xi+1)0(3)yi+1,r=yir，若(xi+1)0,Bresenham画线算法,由式（2）和式（3）可得到(xi+2)=yi+2-yi+1,r-0.5=yi+1+k-yi+1,r-0.5（4）yi+1-yir-0.5+k-1,当(xi+1)0 yi+1-yir-0.5+k,当(xi+1)0(xi+2)=(xi+1)+k-1,当(xi+1)0(xi+2)=(xi+1)+k,当(xi+1)0 由式（2）可得到(x2)=y2-yr-0.5=-0.5(5),程序如下：BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color)int x0,y0,x1,y1,color;int x,y,dx,dy;float k,e;dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx;e=-0.5;x=x0;y=y0;for(i=0;i=0)y+;e=e-1;,Bresenham画线算法,第三章 直线、圆、椭圆生成算法,3.1直线段扫描转换3.2圆弧扫描转换 3.3椭圆弧扫描转换,3.2圆的扫描转换算法,角度DDA法中点画圆法Bresenham画圆算法生成圆弧的正负法圆的内接正多边形逼近法,下面仅以圆心在原点、半径R为整数的圆为例，讨论圆的生成算法。假设圆的方程为：X2+Y2=R2,圆弧扫描算法,X2+Y2=R2Y=Sqrt(R2-X2)在一定范围内，每给定一X值，可得一Y值。当X取整数时，Y须取整。缺点：浮点运算，开方，取整，不均匀。,角度DDA法,x=x0+Rcos y=y0+Rsindx=-Rsinddy=Rcosdxn+1=x n+dxy n+1=y n+dyxn+1=x n+dx=x n-Rsind=x n-(y n-y 0)dy n+1=y n+dy=y n+Rcosd=y n+(x n-x 0)d显然，确定x,y的初值及d值后，即可以增量方式获得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。但要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。,中点画圆法,利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp+1，Yp+1)。,M,P1,P2,P（Xp，Yp）,中点画圆法,构造函数：F（X，Y）=X2+Y2-R2；则 F（X，Y）=0（X，Y）在圆上；F（X，Y）0（X，Y）在圆外。设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5),M,P1,P2,中点画圆法,有如下结论：F（M）M在圆内-取P1 F（M）=0-M在圆外-取P2为此，可采用如下判别式：,M,P1,P2,中点画圆法,d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2 若d0,则P1 为下一个象素，那么再下一个象素的判别式为：d1=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3 即d 的增量为 2xp+3.,M,P1,P2,中点画圆法,若d=0,则P2 为下一个象素，那么再下一个象素的判别式为：d1=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+（2xp+3）+（-2 yp+2）即d 的增量为 2(xp-yp)+5.d的初值:d0=F(1,R-0.5)=1+(R-0.5)2-R2=1.25-R,M,P1,P2,中点画圆法,MidpointCircle(int r,int color)int x,y;float d;x=0;y=r;d=1.25-r;drawpixel(x,y,color);while(xy)if(d0)d+=2*x+3;x+elsed+=2*(x-y)+5;x+;y-;,中点画圆法,为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。使用e=d-0.25代替de0=1-R,中点画圆法,上述算法能否再改进呢？注意到d的增量是x,y的线性函数，每当x递增1，则d的增量递增x=2每当y递减1，则d的增量递增y=2x初始值=3；y初始值=-2r+2见173页算法。,Bresenham画圆算法,现在从A点开始向右下方逐点来寻找弧AB要用的点。如图中点Pi-1是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB的走向，下一个点应该从Hi或者Li中选择。显然应选离AB最近的点作为显示弧AB的点。假设圆的半径为R，显然，当xhi2+yhi2-R2 R2-(xli2+yli2)时，应该取Li。否则取Hi。令di=xhi2+yhi2+xli2+yli2-2R2 显然，当di 0 时应该取Li。否则取Hi。,Bresenham画圆算法,剩下的问题是如何快速的计算di。设图中Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，则Hi和Li的坐标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1)di=xi2+yi-12+xi2+(yi-1-1)2-2R2=2xi2+2yi-12-2yi-1-2R2 di+1=(xi+1)2+yi2+(xi+1)2+(yi-1)2-2R2=2xi2+4xi+2yi2-2yi-2R2+3,Bresenham画圆算法,当di取Hi-yi=yi-1，则 di+1=di+4xi-1+7当di 0时-取Li-yi=yi-1-1，则 di+1=di+4(xi-1-yi-1)+11 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0=12+y02+12+(y0-1)2-2R2=3-2y0=3-2R,生成圆弧的正负法,原理：,设圆的方程为F(x,y)=X2+Y2-R2=0;假设求得Pi的坐标为(xi,yi)；则当Pi在圆内时-F(xi,yi)向右-向圆外Pi在圆外时-F(xi,yi)0-向下-向圆内,生成圆弧的正负法,即求得Pi点后选择下一个象素点Pi+1的规则为：当F(xi,yi)0 取xi+1=xi+1，yi+1=yi;当F(xi,yi)0 取xi+1=xi，yi+1=yi-1;这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使F(xi,yi)时正时负，故称正负法。快速计算的关键是F(xi,yi)的计算，能否采用增量算法？,生成圆弧的正负法,若F(xi,yi)已知，计算F(xi+1,yi+1)可分两种情况：1、F(xi,yi)0-xi+1=xi+1，yi+1=yi;-F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2-=(xi+1)2+yi2-R2=F(xi,yi)+2xi+12、F(xi,yi)0-xi+1=xi，yi+1=yi-1;-F(xi+1,yi+1)=(xi+1)2+(yi+1)2-R2-=xi2+(yi 1)2-R2=F(xi,yi)-2yi+13、初始值：略,圆的内接正多边形逼近法,思想：当一个正多边形的边数足够多时，该多边形可以和圆无限接近。即因此，在允许的误差范围内，可以用正多边形代替圆。设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi),Pi的幅角为i,每一条边对应的圆心角为a，则有xi=Rcos i yi=Rsin i,圆的内接正多边形逼近法,内接正n边形代替圆计算多边形各顶点的递推公式 Xi+1 Rcos(a+i)=Yi+1 Rsin(a+i)Xi+1 cos a-sin a Xi=Yi+1 sin a cosa Yi因为:a是常数，sin a，cosa只在开始时计算一次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法，外加直线段的中点算法的计算量。,第三章 直线、圆、椭圆生成算法,3.1直线段扫描转换3.2圆弧扫描转换 3.3椭圆弧扫描转换,椭圆的扫描转换,F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界点。椭圆上一点处的法向：N(x,y)=(F)xi+(F)yj=2b2 xi+2a2 yj,在上半部分,法向量的y分量大在下半部分,法向量的x分量大,上半部分,下半部分,法向量两分量相等,M1,M2,在当前中点处，法向量（2b2(Xp+1)，2a2(Yp-0.5)的y分量比x分量大,即：b2(Xp+1)a2(Yp-0.5),而在下一中点，不等式改变方向，则说明椭圆弧从上部分转入下部分,椭圆的中点画法,与圆弧中点算法类似：确定一个象素后，接着在两个候选象素的中点计算一个判别式的值，由判别式的符号确定更近的点先讨论椭圆弧的上部分设(Xp，Yp)已确定，则下一待选像素的中点是(Xp+1,Yp-0.5)d1=F(Xp+1,Yp-0.5)=b2(Xp+1)2+a2(Yp-0.5)2-a2b2,根据d1的符号来决定下一像素是取正右方的那个，还是右下方的那个。若d10，中点在椭圆内，取正右方象素，判别式更新为：d1=F(Xp+2,Yp-0.5)=d1+b2(2Xp+3)d1的增量为b2(2Xp+3)当d10，中点在椭圆外，取右下方象素，更新判别式：d1=F(Xp+2,Yp-1.5)=d1+b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2)d1的增量为b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2),d1的初始条件：椭圆弧起点为(0，b)；第一个中点为(1,b-0.5)初始判别式：d1=F(1,b-0.5)=b*b+a*a(-b+0.25)转入下一部分，下一象素可能是正下方或右下方，此时判别式要初始化。d2=F(Xp+0.5,Yp-1)=b2(Xp+0.5)2+a2(Yp-1)2-a2b2 若d2=0,取正下方像素，则d2=F(Xp+0.5,Yp-=d2+a2(-2Yp+3)下半部分弧的终止条件为 y=0,程序：MidpointEllipe(a,b,color)int a,b,color;int x,y;float d1,d2;x=0;y=b;d1=b*b+a*a*(-b+0.25);putpixel(x,y,color);while(b*b*(x+1)0)if(d2 0)d2+=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);x+;y-；else d2+=a*a*(-2*y+3);y-;putpixel(x,y,color);,