用正交变换化二次型为标准形.ppt

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,五、小结,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法,6.2 正定二次型与正定矩阵,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质,二、正(负)定二次型的概念,为正定二次型,为负定二次型,例如,为不定型二次型,三、正(负)定二次型的判别,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的特征值全为正,定理3,正定矩阵具有以下一些简单性质：,这个定理称为霍尔维茨定理,定理4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即,定义2,推论 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,例5 若二次型,正定，求参数 t 应满足的条件.,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(3)顺序主子式判别法；,(2)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导,1、解矩阵方程,2、行列式的计算,已知,且,求矩阵,故,可逆,3方程组求解：何时有唯一解，无解，无穷多解,线性方程组为,问,各取何值时,线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。,2，,方程组有唯一解;,2，,1时，,方程组无解;,2，,1时，,方程组有无穷多解,P69 例3 两种解法,4、求向量组的最大无关组，其余向量用最大无关组表示,P90 例1 p93 例4,5、证向量组线性无关（相关）,设向量组,线性无关,而向量组,线性相关,线性无关.证明:向量组,线性无关。,6、二次型化为标准形,设,则,=_2_,，则有（B）。,时，必有秩,（B）当,时，必有秩,（C）当,时，必有秩,（D）当,时，必有秩,（A）当,.设,其中,则方程,的解为_,设,为,矩阵,为,矩阵,则（）。,时,必有行列式,（B）当,时,必有行列式,（C）当,时,必有行列式,（D）当,时,必有行列式,.,（A）当,B,