物理竞赛课件12：机械振动二三事.ppt

机械振动二三事,平衡位置,所在位置,x0,在平衡位置时：,mg,kx0,x,mg,k(x0+x),在距平衡位置x处时：,简谐运动的确认,则该振动系统做简谐运动,且周期为,振动系统1,竖直面内振动的弹簧振子,mg,T,F回,当角很小时,O,B,则有,l,振动系统2,单摆,如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为，试说明A将做什么运动？,在平衡位置时：,平衡位置,A,x,在距平衡位置x处时：,振动系统3,该振动系统做简谐运动,且周期为,如图所示，密度为的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为、，液柱总长为l若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期毛细管作用及摩擦忽略不计,x,0,该液片在平衡位置时：,h0,取管之底端一截面积为s的液片,若液柱向右侧振动,液片在平衡位置右侧x时：,x,专题12-例2,x,L,R,A,B,d,F,F回,可知小球在隧道中做简谐运动!,小球过平衡位置时速度最大,为:,r,如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力试求小球的最大速度，以及小球从A到B所需时间已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，A和B之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转,专题12-例3,A,B,O,R,r,质点在平衡位置O时：,质点在距平衡位置x的某位置时：,力心A、B相距l，一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情况,专题12-例5,元贝驾考 元贝驾考2016科目一 科目四驾考宝典网 http:/驾考宝典2016科目一 科目四,在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方向一小角度时，乙摆线仍为竖直,乙甲,Mg,F回,由简谐振动周期公式：,M+m,如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止现使之做小振幅的摆动，它的周期是,小试身手题16,框架处于静止,受力如图:,Mg,mg,f,对C点必有:,对松鼠有:,可知松鼠做谐振且有:,三根长度均为l2.00 m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述,小试身手题2,当重物位置在距铰接点l时,系统处于平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图:,l,kx0,mg,振动中重物有一对平衡位置位移x时,重物受力如图:,mg,FN,轻杆受力如图:,对轻杆有,对重物有,长度为的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图试确定铁杆小振动周期与质量为m的重物在杆上的位置之关系,小试身手题3,木板处于平衡位置时,受力如图,mg,l,F右,F左,f,若木板有一位移-重心向右轮移过x时,O,mg,如图，质量为m 的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上设轮与木板间摩擦因数为，两轮间距离l，平衡时长木板重心在l/2处若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期,小试身手题4,若左轮不光滑且顺时针转动,l,O,x0,板在平衡位置时有,mg,设再向右有一小位移x时,可实现谐振,此时,如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为l，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动用一劲度系数为k的弹簧将板连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来问摩擦因数为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多少？,小试身手题5,若左轮不光滑且逆时针转动,l,O,x0,板在平衡位置时有,mg,设再向左有一小位移x时,可实现谐振,此时,右轮不光滑且逆时针转动同,右轮不光滑且顺时针转动同,不可实现谐振,质点P以角速度沿半径为R的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简谐运动,R,Fn,P所受向心力Fn,P的投影运动所受回复力Fx,Fx,令为k,参考圆,简谐运动的周期公式为,参考圆运动的周期,简谐运动的速度公式为,简谐运动的位移公式为,A,O,x,y,A,v,v,A,根据题给条件，物体振动方程为,得,质量为10 g的物体做简谐运动，振幅为24 cm，周期为4 s；当t时坐标为+24 cm.试求当t0.5 s时物体的位置当t0.5 s时作用在物体上力的大小和方向物体从初位置到x-12 cm处所需的最短时间当x12 cm时物体的速度,小试身手题15,作如图所示谐振参考圆，由图得,v,8,6,10,O,x,路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：,一物体在水平面上做简谐运动，振幅为10 cm，当物体离开平衡位置6 cm 时，速度为24 cm/s问周期是多少？当速度为12 cm/s时，位移是多少？如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？,小试身手题16,确定摆球振动的平衡位置；确定摆在此位置时摆线上的力FT；等效的重力加速度,等效摆周期的确定,由理想单摆周期公式,，通常可由三条途径确定T：,确定等效悬点及摆长,联结两悬点的直线为转轴；摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长,确定等效的重力加速度,确定等效的圆频率,确定摆球振动中的机械能守恒关系比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式在同一参考圆下提取等效的角速度,示例,示例,示例,若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的“平衡位置”,mg,FT,则,若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动，,在振动的“平衡位置”,mg,FT,ma,则,振动系统4,mg,qE,FT,带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动,在振动的“平衡位置”,则,振动系统5,mg,FT,ma,则,如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小车使小车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动，求此时单摆振动的周期,专题12-例5,某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？,小试身手题6,向上加速的电梯中，摆的等效,而加速下降电梯中，摆的等效,规律,因加速，上升过程钟面时间t比客观时间t0长，,下降过程钟面时间t比客观时间t0少，,每上下一次，钟面读数与客观时间相差,说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少，以此钟指示时间为据此人 工作了,超时,返回,t,0,正,误,不准钟当其钟面读数时间为t时，客观时间为t0 tt0，钟走快；tt0，钟走慢,摆式钟的特点 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同 2.标准钟钟面读数与客观时间一致 不准钟钟面读数与客观时间不一致 3.T大钟慢，T小钟快,设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为T如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时,标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：,根据特点1，有,不准钟是在客观时间t0(t0t)内走成这样的：,t,0,返回,l,l,mg,振动系统6,如图，小铁球用长度为l的细线AC、BC悬挂，两线与A、B连线的夹角均为，AC恰好水平球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期,A,C,B,如图所示，光滑的细杆组成夹角为的人字架一根长度为l的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期,专题12-例6,B,A,C,O,T,T,振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动中线拉力之合力始终通过O点,即可与单摆等效!,O,A,B,D,C,专题12-例7,l1,C,A,B,a,b,l2,mg,O,x,由几何关系得C到AB的距离,等效摆长为,秋千周期为,如图所示，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳固定点B高b，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别是l1和l2，并且 试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期（人的大小与上述长度相比可忽略不计）,一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙上A点，杆可以向各个方向转动，如图所示一根长度为l的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置使重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期T,A,B,l,l,l,mg,小试身手题7,如图是一种记录地震的仪器倾斜摆的示意图.摆球m固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形框架ABC上，可绕AB杆摆动，AB杆和竖直墙夹角为.求摆球做微小摆动的周期.,A,B,C,m,l,l,mg,小试身手题8,返回,专题12-例8,未放凹形滑块的单摆，是以圆频率,设带凹形滑块的异形摆圆频率为,有,则,谐振,满足,比较两式得,如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为lm与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振动周期T,专题12-例9,未加另一质量重物的单摆,设带另一质量的复摆圆频率为,有,则,谐振,满足,比较两式得,一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小振幅的自由振动如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之几？,续解,时,有最小值,故,查阅,M,m,v0,在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v0，试求振动周期,l,l,M,v0,摆长为l、振幅为l的理想单摆满足,对振动实体机械能守恒，有,比较两式得,则,小试身手题9,数学摆是由长度为l的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示试求这种摆小振动的周期，摩擦不计,小试身手题10,摆长为l、振幅为l 的理想单摆满足,此题中复摆振动实体机械能守恒，有,比较两式得,则,l,l/2,如图所示，质量为M、长为L的均匀细刚杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动质量为m=M/3的小虫相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行开始时，杆静止并与竖直线成一个小角度0，小虫位于杆上端悬点处释放杆，杆开始摆动，小虫开始爬行，试求小虫沿杆爬行l距离时，杆振动的圆频率；小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的，求杆的摆动幅度t,小试身手题11,确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图,续解,当小虫爬到距悬点l处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为,对A=L 的理想单摆满足,比较两式得,小虫在悬点时,小虫在杆最下端时,则,查阅,O,摆长为l、振幅为l的理想单摆满足,此题中复摆振动实体机械能守恒，有,其中角速度为、半径为r圆板的动能为,比较两式得,则,如图所示，一质量为m、半径为r的圆板用三根长均为l的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆板绕其过中心O的铅直轴做微小转动，试求其周期,小试身手题12,如图所示，细轴环用铰链固定于A点，开始这样放置轴环，使它的质心位于A点正上方，此后轴环自由下落，经时间0.5 s，轴环的质心处于最低位置有一摆是小重球B固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位置,小试身手题13,比较两者的角速度关系：,对轴环：,对重球：,则,故转过半周所需时间,如图所示，半径为R的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计在环上与两小重物等距处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2表征试求该摆的振动周期T及其随变化的图线,小试身手题14,系统从平衡位置偏离最大幅度为角：,取小重物其摆长为：,l,振幅为：,摆长为l、振幅为A的理想单摆满足,续解,此题中复摆振动实体机械能守恒，有,则,查阅,如图所示，质量为M的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射角方向以速度v0射向小平板，并发生完全弹性碰撞忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振动方程,专题12-例10,振动标准方程：,对本题振动实体：,M,k,v0,v,m,k,v,V,v0,速度关系如示:,由图示关系:,由弹性碰撞能量关系:,续解,由振动中能量关系:,查阅,专题12-例11,车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中,平衡位置时的压缩量为:,初相位时的速度为:,振幅由振动能量关系求得:,弹簧最大压缩量为:,振动时间借助参考圆:,M,x0,A,缓冲时间为:,如图所示，小车质量M4 kg，由静止开始沿倾角的斜面自h=5 m高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又冲上斜面若缓冲器弹簧的劲度系数k=100 N/m求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间,h,此后将换成轻液片上升,静止于重液上层，当细管口轻液片受力平衡时，小容器内下部是高(H-2x0)的重液，上部轻液高度设为,H,即:轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升2x0时，轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降故第2次流入小容器的轻液质量为,每次循环中进出小容器的重液与轻液质量相同,直至小容器中重液全部替换成轻液!,查阅,如图所示，平台A的质量为m，由劲度系数为k的轻弹簧来支持弹簧上端与A相连，下端与地面相连，物块B的质量也是m，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力F=mg把弹簧压下（仍在弹性限度内），并在系统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况及两者各自到达的最大高度,小试身手题18,A,k,B,A、B处于平衡位置时弹簧压缩,系统振幅为,圆频率为,续解,