正态总体样本均值和方差分布.PPT

五、正态总体样本均值和方差的分布,六、一些非正态总体样本均值的分布,第1.3节 抽样分布,一、分布,二、t 分布,三、F 分布,四、概率分布的分位数,抽样分布的定义,统计量既然是依赖于样本的,而后者又是随机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样分布就是统计量的分布.,抽样分布,(小样本问题中使用),(大样本问题中使用),这一节,我们来讨论正态总体的抽样分布.,一、分布,首先回顾以前学过的5类分布族：,本节将介绍其他几类分布族，它们将在数理统计中起着重要的作用.,1.函数,函数的性质：,2.分布（补充内容）,定义,3.分布的性质,性质1,注：指数分布为特殊的,其中,证,性质2(可加性),4.分布,定义1.8,定理1.6,注,证,性质1,证明,性质2,(此性质可以推广到多个随机变量的情形),性质3,定理1.7,分布（补充内容，不讲）,1.分布的密度函数,定义,2.分布的图象特征,O,1,O,1,O,1,3.分布的性质,性质1,性质2,性质3,二、t分布族,1.t分布,定义1.9,t 分布又称学生氏(Student)分布.,学生氏,定理1.8,证,此问题可以利用商的概率密度计算公式计算.,2.t分布的密度函数,因此,再由商的概率密度计算公式可得,因而定理1.8成立。,3.t分布的图象特征,当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,利用Stirling公式,可以证明,利用重要极限可以证明,因而,4.t分布的性质,性质1,性质2,此分布的数学期望不存在.,三、F分布,定义1.10,1.F分布,2.F分布的密度函数,定理1.9,证明,利用两个独立随机变量商的概率密度函数计算公式可得,根据定义可知,3.F分布的几何特征,4.F分布的性质,性质1,性质2,性质3,定理1.10,则,意义：在方差分析中有重要作用,例1,解,且两者独立,由 定义1.9可知,重点：利用三种分布定义做题,解,例2,例3,解,四 概率分布的分位数,1.定义,2.常用分布的上侧分位数记号,3.查表法,(1)若X的分布密度关于y轴对称，则,特例：,附表2-1,根据正态分布的对称性知,附表2-2,0.95,0.975,由分布的对称性知,2)T分布的上侧分位数,附表3-1,附表3-2,在Matlab中求解,(2)若X的分布密度无对称性，,附表4-1,(表4只详列到 n=60 为止).,附表4-2,附表4-3,例如：,费歇()公式：,此外，还可利用关系,附表 5,附表 8,证,五、正态总体样本均值和方差的分布,1.单个总体样本均值的分布,定理1.11,证,所以,2.单个总体样本方差的分布,定理1.12,注,自由度减少一个!,减少一个自由度的原因：,事实上，它们受到一个条件的约束：,证,因而,构造正交矩阵T使得,因而,又由于,证,且两者独立,由 t 分布的定义知,定理1.13,3.单个总体修正样本均方差的分布,4.两个正态总体样本均值差的分布,定理1.14,总体X和Y，则,证,由定理1.11及定理1.12，知,定理1.15,总体X和Y，则,5.两个正态总体样本方差商的分布,证,六、一些非正态总体样本均值的分布,1.问题的提出,抽样分布的精确分布可以归属到计算随机变量或随机向量函数的分布，但是从关于随机变量或随机向量函数的分布介绍中可以看到计算相当复杂，因而对于一般总体情形下的抽样分布的计算几乎无法完成，因而对于一般情形，我们一方面可以考虑特殊总体情形下的抽样精确分布，另一方面考虑大样本情形下抽样分布的渐近分布。,2.特殊情形下抽样分布 的精确分布,例4(p26例1.14),解,由二项分布的可加性可知,因此,例5(p26例1.15),解,由泊松分布的可加性可知,因此,例6(p27例1.16),解,由于指数分布是(1,)，因而由其可加性可知,因此,故,3.一般情形下样本均值的渐近分布,定理1.16,即,证,由林德贝格列维中心极限定理可知,因而,例7(p27例1.17),解,由例1.14可知，其精确分布为,由定理1.16可知，其渐近分布为正态分布,4.一般情形下样本方差的渐近分布,定理1.17,定理1.18,定理1.17与定理1.18证明有点复杂，因而省略，可以参阅其他参考书。,附表2-1,标准正态分布表,1.645,附表4-1,分布表,17.535,附表3-1,分布表,1.8125,费歇资料,Ronald Aylmer Fisher,Born:17 Feb 1890 in London,EnglandDied:29 July 1962 in Adelaide,Australia,再 见,