正多面体与欧拉定理.ppt

正多面体与欧拉定理,定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体,正多面体：,正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,正多面体的展开图,著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式,欧拉,欧拉公式及其应用,讨论,问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表,(1),（2）,（3）,规律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,20,12,30,(4),(6),问题1：（2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表,讨论,(5),5,8,5,7,8,12,图形编号,顶点数V,面数F,棱数E,（5）,（6）,12,12,24,（7）,(7),多面体,简单多面体,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体,V+F-E=2,简单多面体,欧拉公式,欧拉示性数,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,压缩成平面图形,1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数V和面数F的关系为_。,欧拉公式的应用,(2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系为_。,欧拉公式的应用,2、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数,4、一个凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面多边形内角的总和为_。,5、是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边,欧拉公式的应用,3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,小结,猜想,证明,应用,空间问题平面化,V+F-E=2,欧拉公式,对平面图形，我们来研究：,在此过程中 的值不变，但这时面数 是0。所以 的值也不变。,最后只剩下，所以 最后加上去掉的一个面，就得到,例1.由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种,证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，,令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，,由于每条边都是两个面的公共边，,故多面体棱数（2）,令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV条棱,由于每条棱有两个顶点，,故多面体棱数（1）,由（1）（2）得：，代入欧拉公式：,又，但m,n不能同时大于3，,（若，则有，即 这是不可能的）,m,n中至少有一个等于3令，则,，,同样若 可得,