柯西中值定理和不定式极限.ppt
2 柯西中值定理和不定式极限,首页,一 柯西中值定理,二 不定式极限,首页,设曲线（图6-2-(d)）的参数方程为,另一方面参数方程所确定函数的导数为,由Lagrange定理知道，,若曲线C连续，且处处有不平行于轴的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线.,现在我们想知道的是：当平面曲线C是用参数方程表示时，Lagrange定理如何叙述？,且是连续的、处处有不垂直于X轴的切线，,端点、的连线 弦AB的斜率是,首页,这个结论实际上是由数学家Cauchy给出的，但他并没有局限、为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的函数给出结论的.,至少存在一点(a,b)，使得,所以应有结论：,首页,现给出一个形式更一般的微分中值定理.,则存在，使得,一 柯西中值定理,定理6.5,（柯西中值定理）,设函数 和 满足,（i）在 上都连续；,(ii)在 上都可导；,(iii)不同时为零；,(iv),(1),首页,在uov平面上表示一段曲线（图6-5）.,注1,柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义.,只是现在要把 这两个函数写作以x为参数的参量方程,首页,因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行.,ab时，Cauchy中值定理的结论仍成立.,由于（1）式右边的 表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，,而（1）式左边的 则表示该曲线上与 相对应的一点 处的切线的斜率.,注2,首页,Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理.,注3,如果取函数，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，,Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求）；,首页,于是有，使得,上式整理后便得到所要证明的（2）式.,例1,设函数 在 上连续，在 内可导，则存在，使得,（2）,证,设，,显然它在 上与 一起满足柯西中值定理条件，,首页,不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来求.现在我们将以微分中值定理为理论依据、以导数为工具建立一个简便而又有效的求 型、型不定式极限的方法LHospital法则.,二 不定式极限,我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限,由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此，我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，,分别记为 型或 型不定式极限.例如证明过的重要极限 就是 型不定式.,首页,1.型不定式极限,若，求,与柯西中值定理的结论右端很相似，由柯西中值定理的条件可知，若补上、在a的某个空心邻或内可导,补充定义、在 的函数值（不影响求函数极限）有,首页,则有在该邻域内任取x、在 内连续，在 可导，且，从而存在，使,若，有，从而,若再补充条件 存在，,且，,则有,首页,综上所述，有如下定理：,(3)(A可为实数，也可为）,则,若将定理6.6中 换成只要相应地修正条件（2）中的邻域，也可得到同样的结论.,定理6.6,若函数 和 满足：,(1)；,(2)在点 的某空心邻域 内两者都可导,且；,注1,首页,容易检验 与 在点,又因,故由洛必达法则求得,例2,求,解,的邻域内满足定理6.6的条件（1）和（2），,首页,当然这时 和 在 的某邻域内必须满足定理6.6的条件.,求,利用，则得,注2,如果 仍是 型不定式的极限，只要有可能，我们可再次用洛必达法则，,即考察极限是否存在.,例3,解,首页,2.型不定式极限,若 是“”型，仿定理6.6可得相应的定理.,(3)(A可为实数，也可为.,则,定理6.,若函数 和 满足：,(1),(2)在点 的某空心邻域 内两者都可导,且.,首页,首页,若将定理6.7对于 或等情形也有相同的结论.,如果 满足条件，我们可以再次应用定理6.7.,注1,注2,首页,由定理6.7，有,由定理6.7，有,例5,求,解,例6,求,解,首页,就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.,注3,若 不存在，并不能说明 不存在（试想，这是为什么？）,注4,不能对任何比式极限都按洛必达法则求解.,首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件.,下面这个简单的极限,虽然是 型，但若不顾条件随便使用洛必达法则：,3.其他类型不定式极限,其他类型的不定式极限不定式极限还有 等类型.经过简单变换，它们一般均可化为 型或 型的极限.,例7,求,解,这是一个 型不定式的极限.,用恒等变形 将它转化为 型的不定式极限，并应用洛必达法则得到,首页,从而得到,例8,求,解,这是一个 型不定式极限.,作恒等变形,其指数部分的极限 是 型不定式极限，,可先求得,首页,当 时上面所得的结果显然成立.,例9,求（k为常数）.,解,这是一个 型不定式极限，,按上例变形的方法，先求型的极限：,然后得到,首页,于是有,例10,求,解,这是一个 型不定式的极限.,类似地先求其对数的极限（型）：,首页,首页,于是有,例11,求,解,这是一个 型不定式的极限.,类似地先求其对数的极限（型）：,首页,且已知，试求,因为,所以由洛必达法则得,例12,设,解,首页,所以由归结原则可得,例13,求数列极限,解,先求函数极限(型).,类似于例8，取对数后的极限为,首页,应用洛比达法则须注意的问题,3).洛比达法则的条件为充分条件,若条件不满足(比如 不存在)并不能说明 不存在,此时计算极限,就只能用以前所学的有关计算方法.,1).验证计算的极限是不是不定式极限.不是不定式极限不能使用洛比达法则.,2).除计算 型与 型两种不定式极限外,计算其他五种不定式型:都要用对数式代数运算将它们化为不定式型:型或 型,然后再利用洛比达法则.,首页,5).一般来说,应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单,但对少数的不定式极限应用洛比达法则,并不简单,甚至很繁.,例如:,4).应用洛比达法则,可能会出现仍是不定式极限,这时只要定理的条件满足,仍可继续用洛比达法则.,首页,但是用已学过的计算方法却很简单：,
