极限存在准则与两个重要极限.ppt

夹逼准则和第一个重要极限,2.5 极限存在准则 两个重要极限,第2章 极限与连续,单调有界收敛准则和第二个,重要极限,柯西收敛准则,2,夹逼准则,如果,那末,存在,且等于A.,有,1.夹逼准则,一、夹逼准则和第一个重要极限,对数列以及其它极限过程也有类似的,夹逼,注,准则.,3,证,其中,则有,所以,可知,4,例,解,由夹逼准则得,因为,5,注,利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数 f(x)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x),和h(x)即可.,6,解,由于,以及,夹逼准则,法一,法二,练习,7,作为夹逼准则的应用推导,即,设单位圆O,在A处作单位圆的切线,2.第一个重要极限,第一个重要极限:,8,即,夹逼定理,该极限的特点:,一般有,9,例,例,例,例,10,?,问,正确,考研数学(二)填空,4分,曲线,的水平渐近线方程为,解,练习,11,练习,解,12,选择题,D,练习,C,13,1.单调有界收敛准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,单调有界数列必有极限.,单调有界,有极限,有界,如果数列xn满足条件,对数列xn:,二、单调有界收敛准则和,第二个重要极限,单调有界收敛准则,14,(1)若数列 xn 单调上升有上界,即,并存在一个数M使得对一切,的 n 有,则数列 xn 收敛.,即存在一个数a,使得,(2)若数列 xn 单调下降有下界,即,并存在一个数m使得对一切,即存在一个数a,使得,则数列 xn 收敛.,注,的 n 有,15,证,例,易见,(1),是单调增加的;,是有上界的;,(2),利用单调有界数列必收敛准则即得结论.,因此,16,例,证,(n重根式)的极限存在.,显然,(1),xn是单调增加的;,(2),xn是有上界的;,存在.,17,(舍去),(3),极限存在.,解得,18,有界,设函数 f(x)在点 x0的某个右邻域内单调并且,则f(x)在点 x0,右极限,必定存在.,单调有界数列必收敛.,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,准则有不同的形式.,19,现证明数列xn单调增加,按牛顿二项公式,有,且有界.,2.第二个重要极限,作为单调有界收敛准则的应用推导第二个,重要极限:,20,类似地,显然,xn是单调增加的;,21,无理数,单调上升有上界必有极限,xn是有界的;,22,当x实数趋向 或 时,因此,中的底就是这个常数,或,的极限都存在且等于,函数,可证明,指数函数,以及自然对数,23,“以1加非零无穷小为底,该极限的特点:,(2)括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,若极限呈,但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2)成立.,这个重要极限应灵活的记为:,则,一般有,倒数,指数是无穷小的,其极限为数e”.,24,例,例,例,例,25,解,原式,练习,练习,解,原式,26,例,连续复利问题.,设有一笔本金A0存入银行,年利率为r,末结算时,其本利和为,则一年,如果一年分两期计息,每期利率为,且前一期,的本利和作为后一期的本金,则一年末的本利和为,如果一年分n期计息,每期利率按,计算,且前一期,本利和为后一期的本金,则一年末的本利和为,到第二年末的,为第二年的本金,本利和为,27,于是到 t 年末共计复利 nt 次,其本利和为,令,则表示利息随时计入本金.,这样,t年末,的本利和为,这种将利息计入本金重复计算复利的方法称,为连续复利.,类似于连续复利问题的数学模型,在,研究人口增长、林木增长、细菌繁殖、物体的冷,却、,到,因此有很重要的实际意义.,放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇,28,柯西收敛准则,三、柯西收敛准则,数列xn收敛的充要条件是:,有,证,显然,有,此时,29,单调有界准则.,四、小结,1.极限存在准则,夹逼准则;,2.两个重要极限,30,思考题,1.求极限,2.求极限,3.考研数学二,8分,31,思考题解答,2.原式=,32,解,均为正数,故,设,则,由数学归纳法知,对任意正整数,均有,3.考研数学二,8分,证明数列xn的极限存在,并求此极限.,因而数列xn有界.,33,又当,因而有,单调增加.,由单调有界数列必有极限知,存在.,两边取极限,得,解之得,(舍去).,即数列xn,34,作业,习题2.5(第38页)1(2)，2(3)，3(4)(5)(8)(9)(13)，4单号；阅读其余习题,