杨辉三角与二项式系数的性质.ppt
1.3.2 杨辉三角和 二项式系数性质,【教学目标】知识与技能：利用二项式定理得出二项式系数的一些性质，能运用二项式系数的性质解决一些简单问题。过程与方法：通过学习“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法，培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力。情感态度与价值观：了解我国悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣。【重点与难点】重点：二项式系数的性质；难点：二项式系数的性质的应用。,复习回顾:,二项式定理及展开式:,二项式系数,通项,计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,你发现了什么？,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,上表写成如下形式:,在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.,在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,杨辉三角,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：,杨辉(宋朝),在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当n=6时,其图象是7个孤立点,1.对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,2.增减性与最大值,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,由：,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。,f（r）,r,n,O,O,n,f（r）,n为奇数,n为偶数,当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.,当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值,3.最大值,4.各二项式系数的和,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,同时由于，上式还可以写成：,二项式系数的性质,例1.证明:在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,=2n-1,在展开式,证明:,得,即,所以,赋值法,即在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,练习.若 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，求它的中间项.,解：展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等,由已知可得：2n-1=1024,解得 n=11，,T6=462x-4，T7=462x,有两个中间项分别为,一般地，展开式的二项式系数 有如下性质：,（1）,（2）,（3）当 时，,（5）,当 时，,课堂小结,1、若 展开式中前三项系数成等差 数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；（3）展开式中系数最大的项。,练习：的展开式中，无理项的个数是（）A.83 B.84 C.85 D.86,B,2、在 的展开式中，1）系数的绝对值最大的项是第几项？2）求二项式系数最大的项；3）求系数最大的项；4）求系数最小的项。,练习：,余数是1，,所以是星期六,4、今天是星期五，那么 天后的这一天是星期几？,课堂练习,1.等于（）A.B.C.D.,3.求,的展开式中 项的系数.,4已知 那么 的展开式中含 项的系数是.,2.已知，那么=；,5.求值：,课堂练习,6 的展开式中，无理项的个数是（）A.83 B.84 C.85 D.86,7.已知(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50.,=a0+a1x+a2x2+a3x3+a50 x50,(1)求展开式的各项系数和；,(1)即求：a0+a1+a2+a50,令x=1得：,(2)求x的偶次幂项系数和.,(2)即求：a0+a2+a4+a50,令x=1得：a0+a1+a2+a3+a50=251-23,令x=-1得：a0-a1+a2-a3+a50=0,解:,设:,(1+x)3+(1+x)4+(1+x)50,a0+a1+a2+a50=251-23,课堂练习,证明:,由,课堂练习,求证:,n为偶数时，求证：,证明:,左边=,求证：,证明：,倒序相加法,思考,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得,求证:,思考2,解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,拓展,
