有限单元法简介课案.ppt
有限元法基础Finite Element Method,桂林电子科技大学机电工程学院,Institute of Mechanical Engineering and AutomationIMEA,学习目的及方法,Institute of Mechanical Engineering and Automation,目的 了解FEM数学力学基础；把握FEM求解具体问题的基本过程；应用FEM，特别是运用已有的通用或专用软件求解实际工程技术问题；,方法 注重深入理解FEM思想的建立，数学力学基础;运用通用或专用有限元程序进行工程问题分析；,2023/8/18,有限单元法简介,2,一、数值模拟方法概述二、有限单元法简介三、有限单元法分析步骤四、利用有限元软件进行工程分析五、结后语,一、数值模拟方法概述,工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析；电磁学中的电磁分析、振动特性分析；热力学中的温度场分析；流体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界条件下求解其控制方程的问题。虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，但是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和边界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的载荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。,2023/8/18,有限单元法简介,4,一、数值模拟方法概述,解决这类复杂问题主要有两种方法：1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态，然后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解答）2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题的近似解（较多采用）数值模拟技术（即CAE技术，Computer-aided Engineering）是人们在现代数学、力学理论的基础上，借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值近似解，是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。,2023/8/18,有限单元法简介,5,一、数值模拟方法概述,目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：1、有限单元法FEM（Finite Element Method）2、边界元法 BEM（Boundary Element Method）3、有限差分法FDM（Finite Difference Method）4、离散单元法DEM（Discrete Element Method）其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。,2023/8/18,有限单元法简介,6,一、数值模拟方法概述,数值模拟结合计算机技术形成的应用软件在工程中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用软件有：ANSYS,ABAQUS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC,ADINA,FLAC等 它们大多采用FORTRAN语言编写，不仅包含多种条件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理和后处理程序。大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使用方便，功能强大。,2023/8/18,有限单元法简介,7,FEM求解工程问题思路,工程问题的求解基本过程,Institute of Mechanical Engineering and Automation,二、有限单元法简介,2023/8/18,有限单元法简介,8,1.有限元法 定义 是一种工程物理问题的数值分析方法，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解。分析指导思想 化整为零，裁弯取直，以简驭繁，变难为易,二、有限单元法简介,2023/8/18,有限单元法简介,9,2023/8/18,有限单元法简介,10,是在当今工程分析中获得最广泛应用的数值计算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。伴随着计算机科学和技术的快速发展，现已成为：计算机辅助设计(CAD)Computer Aided Design计算机辅助制造(CAM)Computer Aided Manufacture的重要组成部分.,有限单元法(或称有限元法，FEM)Finite Element Method,2.发展简史1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度1960年，Clough正式提出有限元法（FEM）20世纪60年代，我国数学家冯康把FEM总结成凡是椭圆形偏微分方程都可用FEM求解20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用,二、有限单元法简介,2023/8/18,有限单元法简介,11,3.发展方向新型单元的研究有限元的数学理论向新领域扩展应用大型通用程序的编制和设计 ANSYS,NASTRAN,ABAQUS开发微机用版本设计自动化及优化设计（CAD,CAE,CAM）,二、有限单元法简介,2023/8/18,有限单元法简介,12,4.有限元法的分类 以方程中未知数代表的意义分类,有限元位移法：未知数为位移 有限元力法：未知数为力 有限元混合法：未知数为力和位移,以推导方法分类,直接法 变分法 加权余数法,二、有限单元法简介,2023/8/18,有限单元法简介,13,有限单元法的常用术语：,二、有限单元法简介,真实系统,有限元模型,有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。,定义,2023/8/18,有限单元法简介,14,节点和单元,节点:空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。,单元:一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。,有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。,载荷,2023/8/18,有限单元法简介,15,自由度（DOFs degree of freedoms）,自由度(DOFs)用于描述一个物理场的响应特性。,结构 DOFs,ROTZ,UY,ROTY,UX,ROTX,UZ,2023/8/18,有限单元法简介,16,节点和单元,节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。,J,I,I,J,J,K,L,I,L,K,I,P,O,M,N,K,J,I,L,三维杆单元(铰接),UX,UY,UZ,三维梁单元,二维或轴对称实体单元,UX,UY,三维四边形壳单元,UX,UY,UZ,三维实体热单元,TEMP,J,P,O,M,N,K,J,I,L,三维实体结构单元,ROTX,ROTY,ROTZ,ROTX,ROTY,ROTZ,UX,UY,UZ,UX,UY,UZ,2023/8/18,有限单元法简介,17,二、有限单元法简介,有限单元法的基本思想：1、将一个连续域离散化为有限个单元，并通过有限个节点相连接的等效集合体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。2、有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。,2023/8/18,有限单元法简介,18,三、有限单元法分析步骤,有限元法分析问题的基本步骤：1、结构的离散化 离散化就是将要分析的结构分割成有限个单元体，并在单元的指定位置设置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体代替原来的结构。结构离散化时，划分的单元大小和数目应根据计算精度的要求和计算机的容量来决定 选取坐标（右手法则）选择合适的单元，离散结构物为有限个单元，并对单元、节点进 行编号,2023/8/18,有限单元法简介,19,三、有限单元法分析步骤,2、选择位移插值函数 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。,f 单元内任意点的位移列矩阵 N 单元形函数矩阵 单元节点位移的列矩阵,2023/8/18,有限单元法简介,20,三、有限单元法分析步骤,3、分析单元的力学特性 利用几何方程、本构方程和变分原理得到单元的刚度矩阵和载荷矩阵 Re=Ke e Re 单元节点力 Ke 单元刚度矩阵,2023/8/18,有限单元法简介,21,三、有限单元法分析步骤,4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵K，然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的载荷列阵 K=Ke 5、由平衡方程求解未知节点位移 按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并进行求解。,2023/8/18,有限单元法简介,22,三、有限单元法分析步骤,6、单元应变和应力的计算 根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位移插值函数算出单元的应变和应力。,2023/8/18,有限单元法简介,23,2023/8/18,有限单元法简介,24,有限元法的要点,在工程或物理问题的数学模型:基本变量;基本方程;求解域和边界条件等确定以后，有限元法作为对其进行分析的数值计算方法的要点可归纳如下：,2023/8/18,有限单元法简介,25,(1)将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域(单元)，并通过它们边界上的节点相互联结成为组合体。下图表示将一个二维多连通求解域离散为若干个单元的组合体。图(a)和(b)分别表示采用四边形和三角形单元离散的图形。各个单元通过它们的角节点相互联结。,(2)用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解 域内待求的未知场变量。每个单元内的近似函数由未知场函数(或其导数)在单元各 个节点上的数值和与其对应的插值函数来表达(此表达式 通常表示为矩阵形式)。由于在联结相邻单元的节点上，场函数应具有相同的数 值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。,转换为,求解原来待求场函数的无穷多自由度问题,求解场函数节点值的有限自由度问题,(3)通过和原问题数学模型(基本方程、边界条件)等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量(场函数的节点值)的代数方程组或常微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范化的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。,四、有限元法分类,线弹性有限元法 非线性有限元法,线弹性有限元一般包括:线弹性静力分析 线弹性动力分析,学习这些内容问题需具备：材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。,如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。,线弹性有限元法,研究对象:,理想弹性体,分析基础:,小变形假设,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律,应变与位移也是线性关系,线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，只需较少的计算时间。,非线性有限元问题与线弹性有限元问题有很大不同，主要表现在如下三个方面：(1)非线性问题的方程是非线性的，因此一般需要迭代求解；(2)非线性问题不能采用叠加原理；(3)非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。,非线性有限元法,以结构上弹性力学为例：1.材料非线性问题 材料的应力与应变是非线性关系；但应变与位移却很微小，此时应变与位移呈线性关系；材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总是有它们的局限在工程实际中较为重要的材料非线性性。问题有：非线性弹性(包括分段线弹性)；弹塑性；粘塑性及蠕变等。,有限元法非线性问题可以分为如下三类：,当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系，这意味着结构本身会产生大位移或大转动，而单元中的应变却可大可小。研究这类问题时一般都假定材料的应力与应变呈线性关系。这类问题包括：大位移大应变问题 如：橡胶部件成形过程 大位移小应变问题 如：如结构的弹性屈曲问题,2几何非线性问题,在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到一些接触问题，如：齿轮传动；冲压成型；轧制成型；橡胶减振器；紧配合装配等 当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。,3非线性边界(边界条件),五、利用有限元软件进行工程分析,所有的通用有限元软件都包括：前处理、求解器、后处理三个有逻辑顺序的模块。在进行实际工程分析时，也该按照以上三个模块来进行。,进入求解器进行求解（设定分析步骤，输出变量）,前处理（建模、材料特性、单元选择及网格划分）,进入后处理（变形图、等值线图，列表显示等等后处理）,2023/8/18,有限单元法简介,34,四、利用有限元软件进行工程分析,利用有限元软件进行工程问题的分析，一般应按下列步骤进行：（一）、制订分析方案需考虑以下几个方面：,2023/8/18,有限单元法简介,35,1、分析领域,几何体 载荷 物理系统,2023/8/18,有限单元法简介,36,2、分析目标,力？,位移？,温度？,还是其他？,2023/8/18,有限单元法简介,37,3、线性/非线性分析,“我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线性特性？”许多情况和物理现象都要求进行非线性计算。,2023/8/18,有限单元法简介,38,4、静力/动力分析,静力求解能否满足你的分析要求？如果不能，应当进行哪种动力分析？动力分析的所有载荷都是随时间变化的，但在许多情况下动力影响可以忽略不计。,一般情况下，激励频率低于结构最小固有频率的1/3时静力求解就足够了。惯性力是动力问题不同于静力问题的关键之处。,2023/8/18,有限单元法简介,39,5、分析细节的考虑,在建立分析模型之前必须制订好建模方案：必须考虑哪些细节问题？对称/反对称/轴对称？模型中存在应力奇异？选用那种类型的单元？线单元壳单元XY平面单元平面应力或应变单元轴对称单元谐单元实体单元专用单元线性单元/高阶单元/P单元四边形单元/三角形单元，块单元/四面体单元,2023/8/18,有限单元法简介,40,6、充分利用结构的对称性,2023/8/18,有限单元法简介,41,7、网格密度,相邻单元的尺寸尽可能接近,应力变化大处单元应密集一些。结点的多少与疏密要考虑计算 机的容量和计算精度,结点所连接的单元个数尽可能一致,2023/8/18,有限单元法简介,42,8、单位制,注意：,ANSYS和ABAQUS大型有限元软件中，没有固定的单位制，大家在使用的过程中，可以自己选用前后一致的一套单位制，则最后所得结果的单位即为即为所选单位制对应的单位。建议：尽量采用国际单位制,2023/8/18,有限单元法简介,43,9、材料特性,材料特性是有限元分析必须提供的数据，其准确与否直接影响到计算的精度；必要的时候需通过试验提供；一个复杂分析中可能包含很多种性质截然不同的材料，建模的时候应以足够的关键字以识别；很多有限元软件中，都提供用户接口，若软件中没有现成的材料模型，用户可以自行添加,2023/8/18,有限单元法简介,44,10、载荷,有限元软件中的载荷除了传统意义的载荷（重力、集中力、温度、电势等）外，还包括边界条件在模型建立之前，应该确定所分析模型的工作环境、作用载荷的种类、大小、方向，作用位置等，这是保证分析正确的前提条件,2023/8/18,有限单元法简介,45,11、求解器,最后，根据分析问题的类型及要求，选择合适的求解器进行求解即可。,OK!可以利用软件建模了！,2023/8/18,有限单元法简介,46,五、利用有限元软件进行工程分析,（二）分析方案制订完毕，就可以进行实际问题的建模分析了1、建立模型,2023/8/18,有限单元法简介,47,2023/8/18,有限单元法简介,48,2、输入材料特性3、选择单元，进行网格划分,2023/8/18,有限单元法简介,49,4、施加载荷和边界条件,2023/8/18,有限单元法简介,50,5、定义接触（根据分析需要）,难点！,2023/8/18,有限单元法简介,51,6、制订分析类型和输出要求7、选择适当的求解器进行求解8、查看结果,2023/8/18,有限单元法简介,52,2023/8/18,有限单元法简介,53,2023/8/18,有限单元法简介,54,现代有限元方法经过科学家和数学家的工作已经使其不断成熟完善，从而变成工程分析中一种最有效的数值方法之一。应用此方法在对于连续介质问题分析时，首先要将求解域离散化，然后的中心工作是单元构造或者列式分析。此后的工作可以认为是程式化的工作，即组装总体方程和求解此方程。,Institute of Mechanical Engineering and Automation,五 结后语,2023/8/18,有限单元法简介,55,Thats all!Thanks,Wish you happy everyday!,2023/8/18,有限单元法简介,56,
