有限元分析的力学基础.ppt

第二章 有限元分析的力学基础,本章主要内容,2.1弹性力学同有限元分析的关系2.2弹性体的基本假设2.3弹性力学的基本变量2.4平面问题的基本力学方程2.5空间问题的基本力学方程2.6弹性问题中的能量表达2.7两大类平面问题,本章要点,变形体的三大类基本变量变形体的三大类基本方程及两类边界条件弹性问题中的能量表示平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达应力及应变的分解,2.1弹性力学同有限元分析的关系,弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力。研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。,2.1弹性力学同有限元分析的关系,弹性力学同材料力学的比较 1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。,2.1弹性力学同有限元分析的关系,弹性力学同材料力学的比较 3、研究的方法：相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究；不同点：材料力学：对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。弹性力学：对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。,2.1弹性力学同有限元分析的关系,从几何形状复杂程度来考虑可以分为：1）简单形状变形体材料力学 2）任意形状变形体弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。,2.2 弹性力学中关于材料性质的假定,连续性：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位 移等等才可以用座标的连续函数来表示。完全弹性：亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物 体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。服从虎克定律(应力应变成比例)均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。,各向同性：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。,2.2 弹性力学中关于材料性质的假定,2.3弹性力学基本变量,基本变量,2.3弹性力学基本变量,外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。可以分为体积力和表面力 1、表面力：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。2、体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。均为矢量。弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）,2.3弹性力学基本变量,内力：应力-外力(或温度)的作用 内力,设作用于 上的内力为,则内力的平均集度,即平均应力,为/,这个极限矢量S,就是物体在截面mn上、P点的应力。,应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力,2.3弹性力学基本变量,正应力剪应力,每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力,正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的,剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。,2.3弹性力学基本变量,正面（外法线是沿着坐标轴的正方向）负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负正应力以拉应力为正，压应力为负,2.3弹性力学基本变量,剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。,不同的坐标表示,应力张量,一点的应力状态,应变形状的改变（形变）长度的改变和角度的改变,应变和位移,为了分析物体在其某一点 P 的形变状态,在这一点沿着坐标轴x,y,z 的正方向取三个微小的线段 PA,PB,PC。,2.3弹性力学基本变量,正应变各线段的每单位长度的伸缩,即单位伸缩或相对伸缩。以伸长为正、缩短为负,剪应变各线段之间的直角的改变,用弧度表示。以直角减小为正、增大为负。,2.3弹性力学基本变量,位移就是位置的移动。,物体内任意一点的位移,用它在x,y,z三轴上的投影，来表示以正标向为正。,一般而论,弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的位置而变的,因而都是位置坐标的函数。,2.3弹性力学基本变量,位移与应变的关系,2.3弹性力学基本变量,应变位移,刚体位移,位移,刚体转动,strain-displacement relations.（几何方程柯西方程）,应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。,弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量 来表示。它的矩阵形式是：,称作位移列阵或位移向量。,基本方程 受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程 平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系,2.4平面问题的基本力学方程,平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：,平面(二维)平衡方程,平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一个单位长度.,两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程,上式两边除dxdy,可得:,剪力互等关系,以X轴为投影轴,满足平衡方程:,上式两边除dxdy,可得:,同理,平面(二维)几何方程,经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx,PB=dy见图,变形协调条件 它的物理意义是：材料在变形过程中应该是整体连续的，不应该出现“撕裂”和“重叠”现象发生。,写成矩阵形式为,物理方程,E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。,是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。,线应变（相对伸长或压缩）,绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：,其中：设想直杆横截面是正方形每边长为,横向形变后为。,横向形变和纵向形变之比为泊松系数：,当 时，为拉伸形变；时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：,按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：,位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界,应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。,混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。,边界条件,在 上弹性体的位移已知为 即有:,用矩阵形式表示是,弹性体V的全部边界为S,一部分边界上已知外力 称为力的边界条件，这部分边界用 表示;另一部分边界上弹性体的位移 已知，称为几何边界条件与位移边界条件，这部分边界用 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即:,几何边界条件,作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：,其中,2.5空间问题的基本力学方程,平衡方程：外力和内力之间的平衡关系几何方程：描述的是位移和应变之间关系物理方程：应力和应变之间的关系边界条件：,平衡方程,X方向负面X方向正面Y方向负面Y方向正面Z方向负面Z方向正面,X方向力平衡化简得,Y方向力平衡化简得,Z方向力平衡化简得,如果这六个量在某点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：,几何方程,工程应变,写成矩阵形式为,几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试命：,式中的u0,v0,w0,x,y,z是积分常数。,u0弹性体沿x方向的刚体移动v0 弹性体沿y方向的刚体移动 w0 弹性体沿z方向的刚体移动x 弹性体绕x轴的刚体转动y 弹性体绕y轴的刚体转动z 弹性体绕z轴的刚体转动,为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。,变形协调条件,当6个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证得到单值连续的位移函数。,当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程 弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为：方程既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。,应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律,物理方程,设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。,如果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：,正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，得弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。,写成矩阵形式为,边界条件,XN,YN,ZN分别为作用在某一任意平面上的沿三个坐标轴方向的分量。对于已知应力边界条件的情况，相应的应力边界条件为,二维问题：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量 2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程三维问题：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量 3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程 我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求解的难度是如何处理边界条件（几何形状）。,2.5弹性问题中的能量表示,能量分类1）施加外力在可能位移上所作的功(即外力在弹性变形过程中所做的功)。2）变形体由于变形而存储的能量(即由于变形而储存于弹性体内的能量)。,主要是研究泛函及其极值的求解方法泛函：就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数。弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能、外力势能等。因此，弹性力学中的变分法又称为能量法。取位移为基本未知函数,2.5弹性问题中的能量表示,外力功 施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分力在可能位移上所作的功。,2.5弹性问题中的能量表示,应变能 以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变能（strain energy）。它也包括两部分 1）对应于正应力与正应变的应变能 2）对应于剪应力和剪应变的应变能,2.5弹性问题中的能量表示,1.单向拉伸杆,外力做功,弹性体应变能,单位体积应变能应变能密度,静加载是线性的，没有动能与热能的变化,2.5弹性问题中的能量表示,对应于正应力与正应变的应变能，另外两个方向上的计算类似。,对应于剪应力和剪应变的应变能（其它两个剪应力类似）,2.受均匀剪应力时,应变能密度,3.受复杂应力状态,最终弹性应变能与变形过程无关，只取决于变形的最终状态。,2.5弹性问题中的能量表示,在平面问题中,。在平面应力问题中还有;在平面应变问题中,还有。因此,在两种平面问题中,弹性体的形变势能密度的表达式都简化为,应变能密度,2.5弹性问题中的能量表示,在一般的平面问题中,弹性体各部分的受力并非均匀,各个应力分量和形变分量都是坐标 x 和 y 的函数,因而形变势能密度U l 一般也是坐标 x 和 y 的函数。为了得出整个弹性体具有的形变势能 U,必须将形变势能密度 u 在整个弹性体内积分。和以前一样,为了简便,在 z 方向取一个单位长度。这样就得到(在平面区域 A 内),2.5弹性问题中的能量表示,2.5弹性问题中的能量表示,空间问题的能力密度,考虑初始应力及应变,从而得系统势能,*负号表示外力势能为负值,图表示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。,2.5弹性问题中的能量表示,虚功原理,进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。,虚功原理应用范围,必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图中的反力 由于支点C没有位移，故 所作的虚功对于零)。反之，如图中的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。,虚功原理与虚功方程,虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。,虚功原理-用于弹性体的情况,虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：W=T-U；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0 外力虚功 T=内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。,虚功原理-用于弹性体的情况,虚应变能,虚应变分量,外力虚功,内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能,外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功,由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。,最小势能原理,在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。,最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值,最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。,虚功原理的矩阵表示,i点外力分量j点外力分量外力分量用 表示；引起的应力分量用 表示,虚功原理的矩阵表示,假设发生了虚位移虚位移分量为用 表示；引起的虚应变分量用 表示,虚功原理的矩阵表示,在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中 是 的转置矩阵。同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。这是以后推导有限元方程的基础。,2.6应用实例,1.离散化,2.位移函数,2.位移函数,A,l,i,j,（单元内位移线性分布）,2.6应用实例,77,3.单元刚度矩阵方程,A 虚功原理,外力虚功,虚应变能,应变,应力,2.6应用实例,单元刚度矩阵,单元的刚度方程,单元刚度矩阵,Element,Element,2.6应用实例,79,B 最小势能定理,外力虚功,虚应变能,2.6应用实例,由势能变分原理（势能最小原理）得,势能变分，整理得平衡方程,2.6应用实例,4 整体分析 整体分析就是建立整个离散结构所有节点位移与外力之间的关系，实现未知节点位移的求解,1）整体平衡方程,整体刚度方程可基于势能变分原理建立，也可根据节点的静力平衡来实现（即每个节点静力平衡）。,节点i的平衡为,三个节点三个自由度，即,（A）扩充单元刚度方程法,2.6应用实例,整体刚度方程,2.6应用实例,（B）“对号入座”法（方便编程）,2.6应用实例,5.引入边界条件求解,边界条件,支反力,2.6应用实例,结构离散单元分析整体分析,2.7基本步骤为三大步骤,1、结构离散:就是用假想的线或面将连续物体分割成有限个单元组成的集合体且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。（基本要求）注意的问题单元：满足一定几何特性和物理特性的最小结构域节点：单元与单元间的连接点节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点载荷：作用于节点上的外载,2.7基本步骤为三大步骤,2单元分析:1），选择插值（位移）函数；2），构造位移函数。插值函数：用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。,2.7基本步骤为三大步骤,位移函数一般采用多项式形式，在单元内选适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解,构造位移函数：如平面问题位移函数的一般形式为1.多项式项数越多，则逼近真实位移的精度越高，项数的多少由单元的自由度数决定。2多项式选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元精度。3.选取多项式时，还应使所选取的多项式具有坐标的对称性，即按Pascal（帕斯卡）三角形来选择,2.7基本步骤为三大步骤,位移函数构造方法：1.广义坐标法：2插值函数法：即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和,2.7基本步骤为三大步骤,3）单元特性分析：单元特性分析的基本任务就是建立单元的平衡方程，也称为刚度方程。在选择了单元类型和相应的位移函数后，即可按弹性力学的几何方程、物理方程导出单元应变与应力的表达式，最后利用虚位移原理或最小势能原理或直接法或加权残值法建立单元的平衡方程，即单元节点力与节点位移间的关系。,2.7基本步骤为三大步骤,2.7基本步骤为三大步骤,2.7基本步骤为三大步骤,3.整体分析,整体分析的基本任务包括建立整体平衡方程，引入边界条件，完成整体方程求解。,整体平衡方程的建立有多种方法，可基于能量原理（势能变分或虚位移原理）推导，也可基于节点力平衡得到。,在引入边界条件之前，整体平衡方程是奇异的，这意味着整体方程是不可解的。,方程求解包括边界条件引入和数值计算，一旦利用适当的数值方法求出未知的节点位移，则可按前述的应力应变公式计算出各个单元的应变、应力等物理量,刚度由使其产生单位变形所需的外力值来量度，刚度是指零件在载荷作用下抵抗弹性变形的能力。单元的刚度矩阵：单元刚度矩阵反应的是单元节点力与单元节点位移的关系；总刚度矩阵反应的是整体的节点力与节点位移的关系；刚度矩阵将总体坐标下的节点位移与整个结构的总体力联系在一起。,补充实例（刚度矩阵的理解）,单元刚度矩阵行数等于位移向量的分量个数，列数等于为位移的列向量的分量个数，由于两者相等所以单刚是个方阵。结构的总体刚度矩阵即结构的原始刚度矩阵，每1个元素的物理意义就是当其所在列对应的节点位移分量等于单位位移（其余结点位移分量为0）时，其所在行对应的节点力的数值。表示由于第j个自由度的单位位移dj在第i个自由度需要的力,补充实例（刚度矩阵的理解）,3.2.5 单元的刚度矩阵的性质 a.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。c.单元刚度矩阵是一个奇异阵。d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。,整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块，称为主子块，其余 为副子块。a.中主子块 由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即 b.当结点i、j为单元e的相关结点时，中副子块 为该单元e相应的副子块，即。c.当结点i、j为非相关结点时，中副子块 为零子块，即。d.仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。e.为对称方阵，f.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。,g.为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图a。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图b。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。图 整体刚度矩阵存储方法 h.整体刚度矩阵稀疏阵。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。,(a)带状分布规律,(b)带状存储,约束处理及求解,约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式 时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第 2 章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式 做约束处理。约束处理后的方程称为基本平衡方程。统一记为,约束处理方法 约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。,1 填0置1法,将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1，相应行和列上的其它元素均改为0。同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有,1 填0置1法,也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为 0 的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。,2 乘大数法,将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。,补充实例（势能原理的应用）,3根弹簧弹性系数分别为k1、k2、k3,在弹簧2末端施加一个F的力，利用势能原理推导系统的刚度矩阵。,第三章 几个特殊问题,实际问题中，经常有一些比较典型的情况，需要有针对性的进行处理，如厚度较薄的平面问题厚度较厚的等截面平面应变问题,弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。平面应力问题平面应变问题,3.1平面应力问题几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。,几何方程,物理方程,平衡方程,考察应力边界特点,注意：,3.2平面应变问题几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。,几何方程,物理方程,平衡方程,特点：方向位移以及应变为零（但z方向的应力不为零）,注意：由于z方向的伸缩被阻止，所以,可以看出,平面应力和平面应变问题的物理方程可以通过以下变换互相得到,因为在平面应变问题中也有,和,，所以有相应的剪应变为零。,平面应力,平面应变,平面应变,平面应力,平面应力和平面应变的区别,