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中国人民大学附属中学,3.1.4 概率的加法公式,一、互斥事件、事件的并、对立事件,1互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）;2事件的并：由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和）。记作C=AB（或C=A+B）。事件AB是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合。,3对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作.,例1.抛掷一颗骰子，观察掷出的点数.设事件A为“出现奇数点”，B为“出现2点”.已知P(A)=，P(B)=，求“出现奇数点或2点”的概率。,这里的事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件,设事件C为“出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和),设事件C为“出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和),如图中阴影部分所表示的就是AB.,例2.判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。,解：（1）是互斥事件；（2）不可能是互斥事件；（3）不可能是互斥事件；（4）是互斥事件；,例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。,解：（1）是互斥事件，不是对立事件；（2）既是互斥事件，又是对立事件；（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件；,所以对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件。,假定事件A与B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。,二、互斥事件的概率加法公式,证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的频数为n2，则事件AB出现的频数正好是n1+n2，所以事件AB的频率为,如果用n(A)表示在n次试验中事件A出现的频率，则有n(AB)=n(A)+n(B).,由概率的统计定义可知，P(AB)=P(A)+P(B)。,一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.,在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.,例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和，即,P(C)=P(A)+P(B)=,例4.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.,解：分别记小明的成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.,根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是,P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.,小明考试及格的概率为,P(BCDE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.,对立事件的概率,如果求小明考试不及格的概率，则由公式得,即小明考试不及格的概率是0.07.,例5.某战士射击一次，问：（1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则A的概率为多少？（2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？（3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？,（2）事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1P(B)=0.3；,（3）事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即,例6.盒内装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出1只红球”，事件B为“取出1只黑球”，事件C为“取出1只白球”，事件D为“取出1只绿球”.已知P(A)=，P(B)=,P(C)=，P(D)=，求：（1）“取出1球为红或黑”的概率；（2）“取出1球为红或黑或白”的概率.,解：（1）“取出红球或黑球”的概率为P(AB)=P(A)+P(B)=；,（2）“取出红或黑或白球”的概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=。,又（2）ABC的对立事件为D，所以P(ABC)=1P(D)=即为所求.,例7.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？,解：记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，（1）故P(AC)=0.4；（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1P(B)=0.8；（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。,练习题：,1每道选择题有4个选择项，其中只有1个选择项是正确的。某次考试共有12道选择题，某人说：“每题选择正确的概率是1/4，我每题都选择第一个选择项，则一定有3题选择结果正确”这句话（）（A）正确（B）错误（C）不一定（D）无法解释,B,2从1，2，9中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数。在上述事件中，是对立事件的是（）（A）（B）（C）（D）,C,3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是,乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是（）A.B.C.D.,B,4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”,C,5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（）A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品,B,6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在4.8，4.85)(g)范围内的概率是（）A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68,C,7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（）A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96,D,8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是。,0.2,9.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是.,两次都不中靶,10.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：,则年降水量在200，300（mm）范围内的概率是_.,0.25,11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率，（2）至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率.,0.52,0.87,0.29,
