数字信号处理复习.ppt

1,课程内容,绪论第1章 离散时间信号第2章 离散时间系统第3章 离散时间信号的傅里叶变换第4章 快速傅里叶变换第5章 离散时间系统的相位、结构与逆系统第6章 无限冲激响应数字滤波器设计第7章 有限冲激响应数字滤波器设计,2,数字信号,3,1.1 典型离散信号1.2 离散信号的运算1.3 信号的分类 1.4 噪声1.5 信号空间的基本概念1.6 确定性信号的相关函数,第1章 离散时间信号,4,1.单位抽样信号（Kronecker 函数）,1.1 典型离散信号,单位冲激信号（Drac 函数）,5,2.脉冲串序列,1.1 典型离散信号,冲激串序列,6,将 用 来替换,离散序列,连续信号抽样的数学模型（离散信号）,7,则,3.单位阶跃序列,8,4.正弦序列,(：Hz;：rad/s;：抽样频率,Hz),圆（周）频率,9,例:,则,令,则:,则周期,正弦序列的周期,10,6.指数序列,欧拉公式,5.复正弦序列,11,1.移位：,整个序列移动,1.2 离散信号的运算,的基本运算包括：移位、相加、相乘及变换,12,:n时刻的值,:过去时刻的值,:将来时刻的值,的单位延迟,是,x（n）中各时间值的含义,13,:n时刻的值,:过去时刻的值,:将来时刻的值,的单位延迟,是,序列 在某一时刻k的值可以用 的延迟表示,的抽取性质,14,2.两个信号的相加与相乘：,3.信号时间尺度的变化,两个序列有相同的长度和相同的时间范围,，M为正整数,信号的抽取：,，L为正整数,信号的插值：,时间反转：,15,4.信号的分解,分解的基向量,分解系数,信号的离散表示,若分解系数两两正交，则该分解为x的正交展开或正交分解。,16,5.信号的变换信号分解的逆过程,分解的基向量,分解系数,信号的离散表示,给定x及分解的基向量的情况下，求解分解系数。或者理解为将信号由一个域映射到另一个域的运算。常用的变换有傅里叶变换、离散余弦变换、希尔伯特变换、小波变换等。,17,1.连续，离散根据时间变量的取值,2.周期，非周期,3.确定性信号，随机信号,1.3 信号的分类,4.能量信号，功率信号,信号能量的定义式 则为能量信号,均匀分布的随机变量,18,信号功率的定义式 则为功率信号,周期信号的功率,周期信号、准周期信号和随机信号，由于其时间无限，故这些信号都不是能量信号，通常是功率信号。存在于有限时间区间内的确定性信号有可能是能量信号。,19,相关是研究两个信号之间，或一个信号与其移位后的相关性，是信号分析、检测与处理的重要工具。,1.6 确定性信号的相关函数,这两种相关系数可用来描述两个信号之间的相似程度，又称为归一化的相关系数。,20,之间的互相关函数,之间的互相关函数,自相关函数：,21,自相关函数：,实序列,复序列,性质：,22,功率信号相关函数的定义：,自相关,互相关,对于能量信号：,自相关,对于功率信号：,23,1.若 是周期的，周期是，则,2.若 是实信号，则,3.取最大值，为信号功率,若 是复信号，则,功率信号自相关函数的性质：,24,同频率余弦,例1.6.2:,25,例：相关函数的应用信号周期性的检测,，其中u(n)为白噪声，s(n)周期为M,主要集中在m=0处有值,功率信号的自相关函数在 取最大值，为。,26,2.1 离散时间系统的基本概念2.2 离散时间系统的输入输出关系2.3 Z变换的定义2.4 Z变换的收敛域2.5 Z变换的性质2.6 离散时间系统的转移函数2.7 离散时间系统的频率响应2.8 离散时间系统的极零分析2.9 滤波的基本概念2.10 IIR系统的信号流图与结构2.11 与本章内容有关的MATLAB文件,第2章 离散时间系统,27,连续系统的描述：,微分方程、卷积、转移函数（Laplace变换）、频率响应（Fourier 变换）,2.1 离散时间系统,离散系统的描述：,差分方程、卷积、转移函数（Z 变换）、频率响应（DTFT,DFT）,28,2.1 离散时间系统,当,时，输出 称为单位抽样响应，记为,描述了离散系统的固有特征，是重要的物理参数。,29,例:,当前时刻,差分方程,前一时刻,一阶自回归差分方程的信号流图,单位抽样响应为无限长的系统：IIR系统(Infinite Impulse Response),即,30,例:,三点加权平均器,三点平均器,三点加权平均器信号流图,n为其它值,单位抽样响应为有限长的系统：FIR系统(finite Impulse Response),31,1.线性 Linear,含意：该系统满足迭加原理,离散系统的几个重要定义,32,2.移不变性,同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变（Linear-Shift Invariant System，LSI）离散时间系统，本书中简称LSI系统。,含意：移不变性质保证对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关。,33,例2.1.5(1),判断系统是否线性、移不变？,系统是线性的,则,所以系统对 的输出是,对 的输出是,而,由于,所以,系统不具备移不变性,34,3.因果性 Causality,因果系统,非因果系统,含意：一个实际的物理系统，其在任意时刻的输出只决定于当前时刻的输入、过去时刻的输入，而和将来时刻的输入无关。,因果性的判别方法：,35,4.稳定性 Stability,若：有：,含意：输入有界，输出也有界,定义,不是稳定的,36,线性移不变离散时间系统的一般形式：,2.2 离散时间系统的输入输出关系,37,将 作如下形式的分解：,输入 输出,38,称LSI系统的线性卷积,离散时间系统的输入输出关系,计算步骤：1.将 换成，得；2.将 翻转，得；3.将 移动，得；4.将 和 对应相乘、相加。,系统稳定的充要条件：,即：,39,系统稳定的充要条件：,系统稳定,即：,充分性：,必要性：,因系统稳定，则y(0)有界,40,Laplace变换：,2.3 Z变换的定义,离散信号x(n)的 z 变换定义为,如何由时域：信号x(t)的拉氏变换得到离散信号的 z 变换？,复频域,频域(Fourier 变换),双边 z 变换指n从-到，单边 z 变换(X+(z)指n从0到,41,令：,得到：,42,离散时间序列的傅里叶变换，DTFT,当,43,2.4 Z变换的收敛域,收敛域ROC除 外，还取决于 的取值,是 的模，所以 ROC 具有“圆”，或“环”的形状。,44,例：,使Z变换的分母为0的点，称为Z变换的极点。,45,例：,46,1.,ROC：,3.,ROC:,有限长离散时间信号 Z变换的收敛域,即,即,2.,ROC：,即,47,ROC:,右边无限长序列,ROC：,左边无限长序列,ROC:,双边无限长序列,ROC:,ROC：,48,例：,思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？,单位抽样信号的z变换的收敛域是整个z平面,49,1.线性:,2.3 Z变换的性质,例,50,表示单位延迟,2.时移性质:（1）双边Z变换,（2）单边Z变换,51,（3）为因果序列，则,3.指数加权性质:,4.线性加权性质:,52,5.时域卷积性质:,=,53,一些典型信号的Z变换,54,1.,2.,3.,2.6 离散系统的转移函数,55,4.,系统为FIR系统,则h(n)为无限长，系统为IIR系统,56,5.,以上关系是离散时间系统中的基本关系，它们从不同的角度描述了系统的性质，它们彼此之间可以互相转换。,1.,2.,3.,4.,57,令,则,2.7 离散时间系统的频率响应,系统的频率响应,系统的输出包含和输入同频率的正弦，但受到一复函数的调制。该复函数即系统的频率响应。频率响应是系统单位抽样响应的傅里叶变换，在系统的分析和综合中起到了重要的作用。频率响应进一步可分成幅频响应 和相频响应。,系统的特征函数,58,周期性,实部与虚部,模与角度，幅频响应与相频响应,离散时间系统频率响应性质,偶函数,奇函数,59,使分子多项式=0 的 的 Zeros(零点),使分母多项式=0 的 的Poles(极点),2.8 离散时间系统的极零分析,60,1.稳定性:判别条件1：,稳定性:判别条件2：所有极点都在单位圆内。,极零分析的应用,证明：,61,2.由极零图估计系统的频率响应：,62,例2.8.1 由极零分析大致画出系统的频率响应：,63,2.9 滤波的基本概念,目的：去除噪声，或不需要的成分；原理：信号通过线性系统输入输出的关系。,滤波器的截至频率,线性滤波,64,实现本系统需要一个加法器，个乘法器，个延迟单元。,2.10 IIR系统的结构及信号流图,能否改造，从而节约延迟单元？,可以！,65,则：,及,66,IIR系统的直接实现形式,假设NM,实现本系统需要两个加法器，个乘法器，个延迟单元。,67,级联实现,假设NM，N为偶数,当N为奇数时，有（N+1）/2个子系统。,68,并联实现,69,3.1 连续时间信号的傅立叶变换3.2 离散时间信号的傅立叶变换3.3 连续时间信号的抽样3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数3.5 离散时间傅立叶变换DFT3.6 用DFT计算线性卷积3.7 与DFT有关的几个问题,第3章离散时间信号的傅立叶变换,70,1.傅立叶级数,3.1 连续信号的傅立叶变换,71,FS FT对应连续周期信号 对应连续非周期信号 离散 连续 谐波幅度 频谱密度,2.连续非周期信号的傅立叶变换：信号能量有限,FT,3.傅立叶级数与傅立叶变换的区别与联系,72,由,得,73,周期信号：可以实现傅里叶级数分解，属功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号。,周期信号能否实现傅里叶变换？,在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。,74,因此，时域连续的周期信号的傅里叶变换在频率域是离散的、非周期的。,因此，时域连续的非周期信号的傅里叶变换在频率域是连续的、非周期的。,当 为周期信号时，有：,当 为非周期信号时，有：,75,2.DTFT：可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是。,3.2 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT),定义,1.是 的连续周期函数，周期为。,3.是 在单位圆上取值时的 变换：,76,DTFT的反变换,由 可知 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频域分析。,77,线性 则,移位 则,3.奇偶、虚实性质,DTFT的性质,78,如果 是实信号，即,如果 是实偶信号，即，则 是 的实函数，频谱为实数，相频响应恒为0。,79,4.时域卷积定理,则：,5.频域卷积定理,则：,80,6.时域相关定理,互相关：,自相关：,81,7.Parsevals 定理：信号时域的总能量等于频域 的总能量,：能量谱,82,8.WienerKhinchin 定理,对功率信号x(n)，其自相关函数定义为：,定义：为功率信号的功率谱。功率信号的自相关函数和其功率谱是一对傅立叶变换。信号的总功率则为：,83,例3.2.3:,：一些典型信号的DTFT,84,：一些典型信号的DTFT,85,3.3 抽样定理,信号抽样的数学模型：,86,3.3 抽样定理,信号抽样的数学模型：,87,3.3 抽样定理,信号抽样的数学模型：,88,周期延拓，无穷迭加,迭加后可能产生的影响,89,或,要求：,若保证,相等,则,可保留,全部信息,抽样定理,90,如何保证?,1.做频谱分析，了解 的行为；,2.使用抗混叠滤波器，限制 的范围。,：奈奎斯特频率,：折叠频率,如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混叠，将无法恢复原信号。,91,工程上：使用 D/A 转换器；,在满足抽样定理的情况下，的一个周期即等于，因此，可截取之。,理论上：导出如下：,信号的重建,92,其余为零,插值公式,93,如何对 作频谱分析？,因为 是离散的，故频谱是周期的；,因为 是周期的，故频谱是离散的；,即：的频谱应是离散的、且是周期的。,但：是功率信号，不能直接作DTFT；,3.4 离散时间周期信号的傅立叶级数（DFS）,周期序列,94,记,DFS,95,即：是周期的，周期是，间隔是。,是周期的，周期是，间隔是。,各取一个周期，记：,DFT,96,DFT与DTFT及Z变换之关系,97,DFT的性质,1.线性:,2.正交性,98,3.循环移位,99,为实序列：,4.奇、偶、虚、实对称性质,为复序列：,100,5.Parsevals 定理,6.循环卷积,线性卷积：,都是 点序列,当和DFT联系起来时，注意到 都是以为周期的周期序列。移位时有移出也有移入。,循环卷积定义为：,101,3.6 用 DFT 计算线性卷积,非周期信号,能否用DFT来实现线性卷积呢？,102,103,一、分辨率分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。,3.7 与DFT有关的几个问题,频率分辨率定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。,104,设 长度为，则 的分辨率,主瓣宽度反比于时间长度,105,对 DTFT:设抽样间隔为，则,主瓣宽度反比于时间长度,106,用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出 处的两个频谱，数据长度必须满足：,107,对DFT:,此为 相邻两点的频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出 处的两个谱峰，必须大于。,108,例：,试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。,在本例中，最小的,由,有,即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从DFT的角度看若令,则,109,作 业,P149 3.19,110,第4章 快速傅立叶变换,4.1 概述4.2 时间抽取（DIT）基 2FFT 算法4.3 频率抽取（DIF）基 2 FFT算法,111,4.1 概述,112,解决耗时的乘法问题是将数字信号处理理论用于实际的关键问题。特别是30年前，计算机的速度相当慢。因此，很多学者对解决DFT的快速计算问题产生了极大的兴趣。DSP的正式开端！,Cooley J W,Tukey J W.An algorithm for the machine computation of complex Fourier series.Mathematics of Computation,1965,pp297301,FFT 的思路：,如何充分利用这些关系？,113,4.2 时间抽取基 2 算法,问题是如何分最有效？可以对时间变量分（DIT)，也可对频率变量分(DIF）,FFT的核心思想是：,令：,114,所需运算量：复数乘法次数复数加法次数,注意：因子的位置；输入序列的顺序 码位倒置。,4,115,因子的位置,012.M-1,0 000 000 0 4 100 001 1 2 010 010 26 110 011 31 001 100 45 101 101 53 011 110 67 111 111 7,码位倒置,116,4.3 频率抽取基 2 算法,令：,117,118,4,各是 N/2 点的DFT，继续分解，直到两点DFT,输入正序，输出倒序。注意 因子的位置,119,第5章离散时间系统的相位、结构与逆系统,5.1 离散时间系统的相频响应5.2 FIR 系统的线性相位特性5.3 具有线性相位系统的FIR系统的零点分布5.4 全通系统与最小相位系统5.5 谱分解5.6 FIR 系统的结构,120,5.1 离散时间系统的相频响应,相频响应,如果：，称其为线性相位。,对输入，有,假定：,所以：,输出是输入的简单移位，移位的大小正比于，因此不会发生失真。,幅频响应,121,5.2 FIR 系统的线性相位,对 FIR 系统，如果保证：则该系统具有线性相位。,上述对称有四种情况：,第一类 FIR 系统：,偶对称,奇对称,第二类 FIR 系统：,122,令：,相位增益,只要保证滤波器的系数偶对称，该滤波器必然具有线性相位。,123,2.为偶数,令：,则：,第二类 FIR 系统,3.为奇数,124,4.为偶数,125,所以，的零点也是 的零点，反之亦然,5.3 具有线性相位系统的零点分布,令：,则：,线性相位系统二者相等,126,5.4 全通系统和最小相位系统,如果一个因果系统的幅频响应对所有的频率都等于1(或一个常数)，即,则称系统 为全通系统。,最简单的全通系统举例,全通系统,一阶全通系统：,镜像对称,127,一个因果、稳定的离散系统，其极点必须在单位圆内，但对零点没有限制，如果：,1.所有的零点都在单位圆内：最小相位系统2.所有的零点都在单位圆外：最大相位系统；3.单位圆内、外都有零点：混合相位系统。,最小相位系统,在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器集合中，最小相位滤波器具有最小的相位偏移；,最小相位系统的性质：,128,2.在所有具有相同幅频响应的离散系统中,最小相位系统的 具有最小的延迟；所以，最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列。,最小相位系统的性质：,例：以下系统具有相同的幅频响应，试判断，哪一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？,最小相位系统,最大相位系统,混合相位系统,129,第6章 无限冲激响应数字滤波器设计,6.1 滤波器的基本概念6.2 模拟低通滤波器的设计6.3 模拟高通、带通及带阻滤波器的设计6.4 用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.5 双线性Z变换法设计IIR数字低通滤波器6.6 数字高通、带通及带阻滤波器的设计,130,滤波原理,6.1 滤波器的基本概念,131,滤波器的技术要求,低通：,单位(dB),若幅度在 下降到 0.707，则,若幅度在 下降到 0.01：,归一化为1,132,高通：,带通：,带阻：,133,1.给定所设计的滤波器的技术指标：,LP,HP,BP,BS,2.设计出一个，使其逼近给定的技术要求。,数字滤波器设计的一般步骤:,134,给定数字滤波器的技术指标,得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器,得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器,转换成模拟低通滤波器的技术指标,设计模拟低通滤波器G(S),转换成模拟滤波器的技术指标,数字IIR滤波器设计的具体步骤：,135,6.2 模拟低通滤波器的设计,一、概述,将要求的衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系起来。,136,将 按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的 表达式：,1.巴特沃思(Butterworth)滤波器,2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器,137,1.将实际频率归一化，得归一化幅平方特性,2.求 和,由：,有：,二、Butterworth滤波器的设计,138,对Butterworth滤波器，通常，所以,3.确定,139,6,则：,140,4.巴特沃思滤波器幅频响应的特点,141,例：给定技术指标，设计模拟低通Butterworth滤波器,142,6.4 用冲激响应不变法设计 IIR DF,给定数字滤波器的技术指标,转换成模拟滤波器的技术指标,转换成模拟低通滤波器的技术指标,设计模拟低通滤波器,得到模拟高通、带通、带阻滤波器,得到数字高通、带通、带阻滤波器,143,6.5 用双线性Z变换法设计 IIR DF,放弃上一节的线性转换关系，找新的关系：,令：,双线性z变换,非线性关系，但是一对一的转换,144,Step1.,Step2.频率转换：,Step3.,Step4.,数字低通滤波器的设计步骤：,145,数字高通滤波器设计步骤,6.6 数字高通、带通及带阻滤波器的设计,146,对带通（BP）、带阻（BS）数字滤波器的设计，只需改变图中 步骤2、4：,带通,带阻,例：设计IIR BP DF（巴特沃思滤波器），通带频率范围：300Hz 400Hz；阻带频率范围：200Hz、500Hz，,147,可以求出：,148,第7章 有限冲激响应数字滤波器设计,7.1 FIR DF 设计的窗函数法7.2 窗函数,149,IIR数字滤波器：,有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器,只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是：直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。,150,7.1 FIR数字滤波器设计的窗函数法,1.由理想的频率响应 得到理想；,2.由 得到因果、有限长的单位抽样响应；,3.对 加窗得到较好的频率响应。,理想频率响应,一、思路与方法：,151,设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：,则：,无限长，非因果，偶对称,截短，移位,即：,是因果的，且是线性相位的,于是：,152,上式的的表达式及设计 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个，只要能积分得到，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器。,高通：,相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在 处的低通滤波器。,153,相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器减去一个截止频率在 处的低通滤波器。,带通：,带阻：,154,例：理想差分器及其设计,令：,理想差分器的频率特性：,理想微分器的频率特性：,理想差分器的相频特性,实际相频特性,155,例：设计 Hilbert 变换器（90度相移器）,使用矩形窗,使用汉明窗,M=14,