向量与矩阵的秩.ppt

第四章 向量与矩阵的秩,本章介绍了向量，向量空间概念，讨论了向量的线性相关性，最大无关组，向量组的秩，矩阵的秩等概念和问题，并给出了用初等变换求向量组秩，矩阵秩的一种有效方法。,4.1 向量的概念,定义1 如果数的集合F包含0和1，则数的加法和乘法满足交换律，结合律及分配律，并且F中任何两个数的和，差，积，商（除数不为0）仍在F中，那么称F是一个数域。可以验证，全体有理数集Q构成数域，通常称为有理数域Q；同样，全体实数R构成实数域R，全体复数集C构成复数域C。再如，构成数域。但自然数集N，整数集Z不能构成数域。,向量,定义2：数域F上n 个数 所组成的有序数组 叫做数域F上n维向量。,叫做向量,的第i个分量（或坐标）。,注意：无特别说明，本章数域中的数均指实数。,在空间解析几何中，以坐标原点O（0,0,0)为起点，以点P（x,y,z)为终点的有向线段所表示的向量 就是一个3维向量，这里点（x,y,z)与向量x,y,z用两种不同的括弧以示点与向量之区别，而在代数中，向量常用圆括弧表示，在不致混淆的情况下，可用（x,y,z）表示。又比如工程上研究导弹飞行状态，用导弹的质量m，空间坐标（x,y,z)和速度分量 等7个分量组成的一个7维向量 来表示。,例一 线性方程组,中第i个方程 可用n+1维向量 与其对应表示。,矩阵,称为矩阵A的第i（i1,2,m)个行向量，它是一个n维向量。,的第i行,矩阵A的第j列,称为矩阵A的第j列向量，它是一个m维向量。,就称这两个向量相等，记为,定义3 向量相等：设向量 如果它们各个对应分量相等，即,零向量：分量全为零的向量 称为零向量。,负向量：向量,的负向量是指,记作,向量运算及性质,定义4（向量加法）设n维向量，定义向量与的加法为 为向量与之和。由向量加法和负向量定义可得向量减法,定义5（数乘向量）设为数域F中的数，向量 为数域F上的n维向量，那么数与向量的乘积定义为,记作 或。,解,根据定义及运算性质,例2 设 求,4.2 n维向量空间,数域F上全体n维向量所组成的集合：中向量加法与数乘向量运算称为 中向量线性运算，它满足下列八条运算规律。,设向量，数，则向量加法满足：,数乘满足：,加法和数乘满足分配律：,另外，根据线性运算定义还可得出如下性质：,定义6 设V是数域F上的n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间,说明:,集合V对于加法及数乘两种运算封闭指,若F为实数域，则称V为实向量空间；若F为复数域，则称V为复向量空间,易知：全体三维向量的集合 构成一个向量空间 部分三维向量的集合 也都构成向量空间，但部分三维向量集合 不构成向量空间，因为它不满足定义第2点。,一般，数域F上全体n维向量所成集合 对其定义的向量加法和数乘向量运算满足：(1)向量加法封闭，即若，有。(2)数乘向量封闭，即若，有，故称非空集合 为向量空间。,例3 验证n维向量集合 集合 构成向量空间，集合 不构成向量空间。,解,(1),非空，又若，则，于是，从而。同样，任給，有 从而，故 构成向量空间。,（2)由于，则，那么，但 得，故数乘运算不封闭，不构成 向量空间。,说明：对n分别取1,2,3时，分别表示数轴R上一个原点，平面 上一条过原点的直线（二，四象限对角线），空间 中过原点的一个平面；而 分别表示数轴R上点1,平面 上不过原点的直线，空间 上不过原点的平面且在三坐标轴截距为1的平面。,4.3 向量组的线性相关性,在第一节例2中，向量 就是向量，的一个线性组合，又，这时又称向量 可由 线性表示，一般的有 定义7 设n维向量，如果有一 组数使 则说向量 是 的线性组合，或可说 可由 线性表示。,例四 线性方程组,4个方程分别可用向量表示为,由于,即 可由 表示，也可由 表示。,那么原方程组与 对应组成的方程组,同解，,有了这一关系，今后在不改变原方程组系数情况下，可简化方程的求解。,例五 线性方程组,可写成,由上式可见，方程组（I)有解的充要条件是：,右端常数列向量可由系数矩阵的列向量线性表示。,（I）,例六 n维向量组称为,中n维单位向量组，显然，中任一向量 可表示为,即向量 可由 线性表示，且表示系数就是向量 的各分量,又若有数，使：则,即,这时，我们把具有这种性质的向量组：称为,线性无关向量组,定义8,设有向量组：，如果存在一组不全为零的数，使 则称向量组 线性相关，否则，称它们线性无关,向量组（同维向量组成的集合）不是线性相关就是线性无关，所谓线性无关，换句话说就是,定义9 设有向量组，若 只有在 时才成立，这时称向量组,线性无关。,例7 讨论向量组 的线性相关性,解,设有数，使，即,于是,解之得,令,，得，从而得一组不全为0的数，使,，故 线性相关。,（或由于：，所以，线性相关。）,例八,齐次线性方程组,可写成,它有非零解的充要条件是系数矩阵的列向量组线性相关,例九 设 线性无关，试证：也线性无关。,证明,设有数，使，,即,也就是,由于 线性无关，则,故 线性无关。,定理一 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由 线性表示，且表示式是唯一的。,定理二,向量组 线性相关，则向量组中至少有一向量可由其余s-1个向量线性表示。,注意,一个向量 线性相关当且仅当 为零向量。,含零向量的向量组线性相关。,定理三,当mn时，任意m个n维向量线性相关。,推论,取mn1可得，任意n+1个n维向量一定线性相关,由推论知，在几何空间 中任意四个向量线性相关，在平面 中任何三个向量线性相关。,定理四,设 与 是两个向量组，如果,（1)向量组 可以经 线性表出；,（2)rs。,那么，向量组 必线性相关。,推论,如果向量组 可以经向量组 线性表出，且 线性无关，那么,4.4 向量组等价,引例：在几何空间 中，向量组A为单位基本向量组：向量组B为：。向量组A与向量组B有关系：,（1)向量组B中向量 都可由向量组A中向量线性表出；,（2)向量组A中向量 也都可由向量组B中向量线性表出，且表出关系为,像这种能相互线性表出的向量组称为等价向量组。,定义10 设有两个n维向量组 如果向量组A中的每个向量都能由向量组B的向量线性 表示，则称向量组A能由向量组B线性表示。,如果向量组A能由向量组B线性表示，且向量组B也能由向量组A线性表示，则称向量组A和向量组B等价；记作,向量组之间的等价关系具有下列性质：,（1)反身性：A组与A组自身等价，即,（2)对称性：若A组与B组等价，则B组与A组等价，即若，则；,（3)传递性：若向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C 等价，则向量组A与向量组C是等价的。即若，则。,数学中，把具有反身性，对称性，传递性这三条性质的关系称为对称关系。,例10 设,，,，,，,，,记A的行向量为,，则,易知，中行向量组均与A的行向量组 等价。,由例10我们可以得到更一般的结论：,定理五 阶矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则 矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价，而且A中的任 意k个列向量与B中对应的k列向量有相同的线性相关性。,推论 矩阵A经有限次初等列变换变成B，则矩阵A的列向量组 与矩阵B的列向量组等价，而A的任意k个行向量与B中对 应的k个行向量有相同的线性相关性。,例11 设，满足：A=PB，P为m阶可逆矩阵，则矩阵A的行向量组 与矩阵B的行向量组等价。,证明,P为m阶可逆矩阵，则P可表示成有限次初等方阵之积，即,于是,相当于B经有限次初等行变换 变成矩阵A，由定理5得知：矩阵A与B的两行向量等价。,4.5 极大无关组,在向量空间 中，我们知道，单位向量组 线性无关，且对 中任一向量，均可由 线性表示，那么，,称向量组 为向量集 的一个极大无关组。,一般地，我们可定义向量组T的一个极大无关组如下：,定义11 向量组T中有r个向量，满足：（1)向量组 线性无关；（2)向量组T中任意一个向量均可由 线性表示。这时，称向量组 是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组，也可称最大无关组。,从定义可知，向量组T与它的极大无关组等价。,例12（1)n维向量空间 中的单位向量组 是空间 中的一个极大无关组。,（2)设向量组T为，则可 验证 线性无关，即 可由 线性表示，从而 为向量组T的一个极大无关组。同样，,也是向量组T的一个极大无关组。,思考：是否为向量组T的一个极大无关组？,例13 设 是三维向量空间 中以原点为起点，终点落在平面 上所有向量的集合，求 的一个极 大无关组。,解,由于,显然 是 中向量，线性无关。,又设 是 中任一向量，则，有。,于是 可由 线性表出，且表出关系式为,所以向量 为向量集 的一个极大无关组。,从上两例知，一向量组T的极大无关组不一定是唯一的，但向量组T的每个极大无关组所含的向量个数是否相等呢？,答案是肯定的。,为了回答这个问题，我们先证一个重要的定理。,定理六 设有两个n维向量组（1)若A组线性无关，且可由B组线性表示，则；（2)若A组线性无关，B组也线性无关，且A组与B 组等价，则rs。,定理七 设向量组A与向量组B是向量组T的两个极大无关组，则 向量组A与向量组B等价且A中所含向量个数等于B组所 含向量个数。,由定理七知，一个向量组T含一个极大无关组或含有两个以上极大无关组，它的每个极大无关组所含向量个数相同。,定义12 向量组T的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作秩(T)或rank(T),简记r(T)。这里规定仅含有零向量的向量组的秩为零。,例14 设向量组A 求向量组的秩。,解,因易知 线性无关，而,故知，为向量组A的一个最大无关组。,从而知r(A)=2,定理八 两个n维向量组A,B有（1)如果组A可由组B线性表示，则；（2)如果组A与组B等价，则r(A)=r(B),4.6 矩阵的秩,矩阵的秩是刻画矩阵内在特性的重要概念，它能使我们深刻认识矩阵确定向量的相关性或无关性，建立线性方程组的理论等。,定义13 矩阵,的行向量组成的向量组的秩，称为矩阵A的行秩,记作r(A)。它的列向量组成的向量组的秩，称为矩阵A的列秩，记作c(A).,如矩阵,，,它的行向量组,易知 为一个最大无关组，从而r(A)=2。,它的列向量组,同样可知 为极大无关组，故c(A)=2。,对矩阵A有r(A)=c(A)=2,定义14 在一个 矩阵A中任意选定k行和k列(),位于这些选定的行列的交叉点上的 个元素按原来的 次序所组成的 矩阵的行列式称为A的一个k阶子式。,例如,的第一，二行，第二，四两列交叉点上的元素所构成的一个二阶子式为,定义15 设A为 矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数 为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式若 有的话）皆为零，则称r为矩阵的秩，记作R(A)，即R(A)=r。,当A=0时，规定R(A)0。,显然：,当,时，称矩阵A为满秩矩阵。,例如，,中有二阶子式,但它的任何三阶子式皆为零，所以R(A)=2。,如在上面的矩阵A中，有二阶子式,而三阶子式,，故A的行列式秩D(A)=2。,那么，对矩阵A,我们可以看到，它的行秩，列秩，行列式的秩都等于2,即,那么，对于任何一个矩阵，它们三秩的关系如何呢？,而,是满秩矩阵。,定理九 任一矩阵A的行秩r(A)，列秩c(A)，行列式秩D(A)，三秩相等，即,以后，将这三秩统称为矩阵A的秩，记作R(A).,例15 设矩阵，证明：,证,记，则矩阵C的列向量可由A的列向量线性表示，即,这里 分别是C及A的列向量，上式表明，C的列向量可由A的列向量线性表示，由定理8知，C的列秩 A的列秩，也就是秩（C)秩（A)。,同理可证矩阵C的行向量可由矩阵B的行向量线性表示，秩（C)秩（B)。,从而，秩（C)min秩（A)，秩（B)，即,定理10 矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则 R(A)=R(B)。,推论 若矩阵A与矩阵B等价，则R(A)=R(B)。,定理11 矩阵A经初等变换化为行阶梯阵，则行阶梯阵中非零 行个数r等于矩阵的秩。,定理12 矩阵A经初等行变换化为行阶梯阵B，则：（1)R(A)等于阶梯阵B中非零行个数r。,（2)行阶梯阵B中非零首元所在的r列对应A中的r列 向量是A的列向量的一个最大无关组。,例16 求向量组,的秩及其最大无关组。,解,把所给向量组视为矩阵A的列向量组，那么向量组的秩等于矩阵的秩，对应的最大无关组也就是A的列向量组的最大无关组。对A施行行初等变换,从阶梯阵可看出，R(A)=3，且阶梯阵非零首元所在列为1,2,4列，据定理11知A的第1,2,4列向量是A的列向量组的一个极大无关组，,故所求向量的秩为3,且 为它的一个极大无关组。,