材料力学圆轴扭转内力、应力.ppt
扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律,圆轴扭转时横截面上的应力。教学要求：1、理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力；2、掌握扭转内力扭矩与扭矩图；3、掌握切应力互等定理、剪切胡克定律；4、掌握圆轴扭转时横截面上的应力重点：扭转内力、应力。难点：切应力互等定理的证明。学时安排：2,教学内容：,Mechanic of Materials,第八讲的内容、要求、重难点,目录,第三章 扭 转,3.1扭转的概念和实例和实例,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,3.3 纯剪切,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,第八讲内容目录,3.1扭转的概念和实例,汽车传动轴,Mechanic of Materials,汽车方向盘操纵杆,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,5,请判断哪一杆件将发生扭转？,拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生剪切。,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,6,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,7,请判断哪一杆件将发生扭转？,连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,8,请判断哪一部件将发生扭转？,唱机的心轴将产生扭转。,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。,受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。,扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,Mechanic of Materials,3.1扭转的概念和实例,1、直接计算,一.外力偶矩,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,Mechanic of Materials,2、按输入功率和转速计算,电机输入功率为P(KW),每秒作功：,外力偶m使轴以n（r/min）转动，m每秒作功：,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。,如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W=0.7355 kW），则,Mechanic of Materials,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为kNm或Nm,Mechanic of Materials,扭矩正负规定:,右手螺旋法则,右手四指与扭矩转向一致，拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-),T=m,T=-m,三、扭矩图diagram of torsion moment)：表征扭矩沿杆长的变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,Mechanic of Materials,圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为Nm，尺寸单位为mm。,试：画出圆轴的扭矩图。,例题3-1,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,Mechanic of Materials,解：1确定控制面,外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面,2截面法求各段扭矩,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,Mechanic of Materials,3建立Tx坐标系，画出扭矩图 建立Tx坐标系，其中x轴平行于圆轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。,315,630,486,（）,（+）,例3-2 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图,Mechanic of Materials,从最外母线看，外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同。,3.2外力偶的计算 扭矩与扭矩图,Mechanic of Materials,一、薄壁圆筒的扭转,（一）、实验：,1.实验前：,绘纵向线、圆周线；,3.3 纯剪切,施加一对外力偶 m。,Mechanic of Materials,2.实验后：,圆周线不变；,纵向线倾斜,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。,各纵向线均倾斜了同一微小角度。,所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,19,圆周线间距离不变,变形沿圆周切线方向,表面纵线倾斜,所有小矩形都歪斜成平行四边形,每个小矩形的变形相同,3.3 纯剪切,Mechanic of Materials,r,横截面上无正应力,圆周线的形状、大小均未改变,沿半径方向也无切应力,左右两个截面间产生了相对的转动，截面上有切应力存在.,横截面上同一圆周上各点的切应力都是相等的,切应力沿圆周的切线方向,即垂直于半径方向，与扭矩转向一致,4.与 的关系：,二、薄壁圆筒切应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,3.3 纯剪切,Mechanic of Materials,dA,三、切应力互等定理：,上式称为切应力互等定理。,该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线,3.3 纯剪切,Mechanic of Materials,T,点右截面,点左截面,单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,单元体：围绕所研究的截取的边长为无限小的直六面体。,22,四、剪切虎克定律：,T=m,剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，切应力与切应变成正比关系:,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：,3.3 纯剪切,Mechanic of Materials,23,一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路,Mechanic of Materials,（一）几何方面：,1、变形后，横截面大小、形状均不改变，半径仍为直线。（应力垂直半径）,2、变形后相邻横截面间的距离不变。（无正应力）,扭转时，圆轴的表面变形和薄壁圆筒表面变形相似。实验现象：,3、平面假定：圆轴受扭发生变形后，横截面仍保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,24,Mechanic of Materials,（二）物理方面（线弹性范围内）,（三）静力学方面,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,25,距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离成正比。,扭转角沿长度方向变化率。,1、变形协调方程推导应变、应力分布规律,设到轴线任意远处的剪应变为（），则有如下几何关系：,Mechanic of Materials,2、物性关系剪切胡克定律,、,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,二、圆轴扭转应力公式推导,26,T,Mechanic of Materials,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,27,3.静力学方程：,令,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,物理关系式,28,横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。,4.公式讨论：,GIP扭转刚度；,仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。,式中：,T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。,该点到圆心的距离。,IP极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,29,单位：mm4，m4。,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。,D,d,O,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,O,d,30,应力分布,T,t,max,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,31,确定最大切应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,3.4圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,32,3-4 圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,例3-3 图示圆轴，D=100mm，m=14kNm。,解：（1）由求扭转切应力的公式知：,（3）切应力沿半径线性分布，且各点的切应力均垂直于半径；再根据切应力互等定理，可画出如图所示的纵向面oabc上切应力沿半径oa的分布规律。表面无切应力。,试求：(1)1-1截面上B、C两点的切应力。,（2）画出图(b)所示的横截面及纵向截面oacb上切应力沿半径oa的分布规律。,33,例3-4 已知：P7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。,求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,解（1）由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,3-4 圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,空心轴,d20.5，D2=23 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,（2）,（3）,34,作业,P.101 3-1c、2,作业,35,应力分布,应力公式,观察变形,应变分布,3-4 圆轴扭转时横截面上的应力,Mechanic of Materials,36,讨论题,2Me,Me,Me,37,试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。,38,3、指出图中各轴哪些产生扭转变形？,4、试分析图中所示扭转切应力分布规律哪个正确,39,5、变截面轴的最大扭转切应力是否一定发生最大扭矩的截面上，为什么？,，,6、空心圆轴，外径D、内径d，其极惯性矩IP和抗扭截面模量WP是否可按下式来计算？,正确：,
