有限元法理论基础弹力变分原理.ppt

1,弹性力学问题变分原理,1、弹性力学方程张量形式2、应变能、应变余能3、虚功（虚位移、虚应力）原理4、最小位能原理、最小余能原理,有限元法理论基础,2,一、弹性力学基本方程（矩阵形式）,平衡方程：,（在 上）,（在V内）,（在V内）,（在V内）,（在 上）,几何方程：,边界条件：,物理方程：,有限元法理论基础,3,1、平衡方程,有限元法理论基础,4,2、几何方程,有限元法理论基础,5,3、物理方程,有限元法理论基础,6,2、弹性体应变能和应变余能,应变能：应变余能：应变能密度：应变余能密度：,应变能密度,应变余能密度,有限元法理论基础,7,应变能和应变余能,由应变能密度及应变余能密度公式可得：,其中：,对于线弹性材料，有：,有限元法理论基础,8,应变能和应变余能,互余关系：,全功,对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分别表示为应变和应力的二次齐函数：,有限元法理论基础,9,虚功原理,变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。虚功原理：虚位移原理、虚应力原理,有限元法理论基础,10,虚位移原理,平衡方程：,(在V内),（在 上）,力边界条件：,虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。,平衡方程和力边界条件,有限元法理论基础,权函数取虚位移及其边界值，可得等效积分形式为：,其中，是真实位移的变分，是连续可导的。注意在位移边界上：,11,虚位移原理,对上式体积分中的第一项进行分部积分，并注意到应力张量是对称张量，得：,注意，应用体积分化面积分公式，即散度定理。,有限元法理论基础,12,虚位移原理,将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积分形式，得到等效积分形式：,几何方程：,上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。积分形式的平衡方程。按位移法建立有限元方程的基本方程。,有限元法理论基础,13,虚位移原理说明：,虚位移原理：未涉及物理方程，所以可应用于线弹性、非线性弹性、弹塑性等非线性问题。,有限元法理论基础,虚位移原理也可由能量守恒定律直接导出：根据能量守恒定律，外力在虚位移上所做的功，等于内力在虚应变上所做的功。,14,最小位（势）能原理,弹性系统总势能：将上式求变分得：将虚位移原理表达式 代入可得：可以证明总势能的二阶变分,有限元法理论基础,15,弹性系统总势能：最小势能原理：在满足几何约束的各类位移中，实际位移使系统的总势能取最小值。,有限元法理论基础,最小位（势）能原理,16,虚应力原理,虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分（微小的变化）。虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：按力法建立有限元方程的基本方程。几何方程和位移边界条件,建立等效积分：权函数取真实应力的变分及其相应的边界值，可得等效积分形式为：,有限元法理论基础,17,最小余能原理,弹性系统总余能为应变余能与余势之和：将上式求变分:将虚应力原理代入可得：可以证明总余能的二阶变分：说明：在所有满足平衡方程和力边界条件的可能应力中，真实应力总是使系统总余能取最小值。最小余能原理,有限元法理论基础,