有限元法基础-5等参元与数值积分.ppt

第五章 等参元与数值积分,5.1 等参变换的概念5.2 等参变换的条件和收敛性5.3 数值积分方法5.4 数值积分阶次的选择,1,5.等参元与数值积分,本章重点等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件数值积分的基本思想和Gauss积分的特点单元刚度矩阵数值积分阶次的选择,有限元法基础,2,5.等参元与数值积分,关键概念 等(超、次)参变换 雅克比矩阵和行列式等参变换的条件 等参元的收敛性数值积分 高斯积分 精确积分减缩积分 矩阵的秩 零能模式,有限元法基础,3,5.1等参变换的概念,将局部（自然）坐标中的简单几何形状的单元，转换成总体（物理）坐标中的几何扭曲的单元，必须建立一个坐标变换，即,有限元法基础,4,5.1等参变换的概念,有限元法基础,5,5.1等参变换的概念,有限元法基础,6,5.1等参变换的概念,有限元法基础,7,规则化单元：母单元在自然坐标系内(局部),实际单元：子单元 在总体坐标系内(整体),利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系,5.1等参变换的概念,有限元法基础,8,等参变换 坐标变换和场函数插值采用相同的节点，m=n,并且采用相同的插值函数。这样建立的单元，称为等参元。超参变换 坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为超参元。次参变换 坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数，即mn。这样建立的单元，称为次参元。,5.1等参变换的概念,有限元法基础,9,例：一维2节点单元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,10,例：二维3节点单元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,11,例：平面4节点单元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,12,单元矩阵的变换 等参变换单元矩阵的变化：,等参变换,单元矩阵的变化：B、K、d、,5.1等参变换的概念,有限元法基础,13,由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如B矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。,5.1等参变换的概念,有限元法基础,14,1）导数之间的变换 由复合函数求导规则有写成矩阵形式J 称为Jacobi 矩阵,5.1等参变换的概念,有限元法基础,15,J 的伴随矩阵,5.1等参变换的概念,有限元法基础,16,由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素,5.1等参变换的概念,有限元法基础,17,2）体积微元的变换,5.1等参变换的概念,有限元法基础,18,单元刚度矩阵等效体积力,5.1等参变换的概念,有限元法基础,19,3）面积微元的变换以 为例，,5.1等参变换的概念,有限元法基础,20,边界面力的变换以 为例，,5.1等参变换的概念,有限元法基础,21,4）对二维问题面元,线元,5.1等参变换的概念,有限元法基础,22,5）面积坐标,直边三角形时：,5.1等参变换的概念,有限元法基础,23,6）体积坐标,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,24,等参变换的条件等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆 是否存在？存在的条件是,这是两个坐标系间一对一变换的条件,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,25,以二维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，顺序相同2）若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,26,畸变单元举例节点1 节点2 节点3 由于 是连续函数，故在1-2边至到2-3边时必有一点，不具备等参变换条件。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,27,畸变单元举例边1-2 退化为一个节点 在该点处，也不具备 等参变换条件。实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，并不会出现奇异性，应用中仍可使用；四边形退化为三角形单元的积分精度较差。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,28,等参单元的收敛性 弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：完备性：场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。协调性：单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,29,完备性 设单元内任一点i的位移场为代入位移插值函数,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,30,注意到等参变换,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,31,只要,Ni 满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。,5.2 等参变换的条件与收敛性,有限元法基础,32,协调性 单元间边界上的位移场：具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足,5.等参元与数值积分,有限元法基础,33,练习题：什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？同样条件可否适用于次参和超参单元？证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的Jacobi矩阵是常数矩阵。证明面积坐标的幂函数的积分公式。（提示：利用面积坐标之和等于1的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。）,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,34,有限元方程为单元刚度矩阵为,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,35,1）母单元为 自然坐标系列 坐标变换 位移插值 Jacobi矩阵 应变的计算 求B时需建立,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,36,单元矩阵计算时,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,37,2）母单元为体积坐标系列 取L1、L2和L3为独立变量，L4=1-L1-L2-L3单元矩阵计算,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,38,2）母单元为体积坐标系列 取L1、L2和L3为独立变量，L4=1-L1-L2-L3单元矩阵计算,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,39,例：无限元1）一维问题：2节点单元通常u2是已知的。,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,40,例：无限元2）二维问题：4节点单元,5.3 弹性力学中等参单元的一般列式方法,有限元法基础,41,坐标变换 反映了1-2边的变化率。位移插值函数依然与传统单元一样。通常节点2和节点3的量是已知的。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,42,数值积分的基本思想关键在求积系数和求积点的确定！,求积系数,求积点,误差,5.4 数值积分方法,有限元法基础,43,1）NewtonCotes积分方案 将积分区域a,bn等分构造近似被积函数在取样点上,5.4 数值积分方法,有限元法基础,44,使用n阶多项式构造近似函数 为Lagrange插值函数。积分系数,5.4 数值积分方法,有限元法基础,45,积分系数与选取的积分点个数有关与积分点位置有关与积分域a,b有关被积函数形式无关,5.4 数值积分方法,有限元法基础,46,采用规范化的区域（0，1），n+1个等距坐标为 称为Cotes系数。这种积分具有n次的代数精度，即对n次多项式能精确积分。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,47,例：一维问题n=1(梯形公式),5.4 数值积分方法,有限元法基础,48,n=2(Simpson公式),5.4 数值积分方法,有限元法基础,49,NewtonCotes积分特点积分取样点等距分布有n+1个积分点，若被积函数是n次多项式，代数积分是精确的,5.4 数值积分方法,有限元法基础,50,2）Gauss积分方案特点 积分取样点非等间距分布，通过优化积分点的位置，提高了积分精度，n个积分点可达2n-1次精度。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,51,在积分域内构造多项式由条件确定积分点的位置。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,52,的性质：（1）在积分点上（2）在积分域（a,b）内与正交。被积函数 可由2n-1次多项式近似,5.4 数值积分方法,有限元法基础,53,上式在形式上与NewtonCotes积分是一样的，但是近似函数是2n-1次，积分点是非均匀的分布。为了方便积分，一般积分限（a，b）（-1，1）。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,54,例：两点Gauss积分积分点位置：i=0i=1,5.4 数值积分方法,有限元法基础,55,得到,求解高阶积分点坐标和权系数，一般利用Legendre多项式来进行。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,56,5.4 数值积分方法,有限元法基础,57,n=2Newton-CotesGauss,5.4 数值积分方法,有限元法基础,58,二维和三维Gauss积分 对二维积分首先令 为常数，对 积分再对 积分，得到,5.4 数值积分方法,有限元法基础,59,类似地三维积分为注：每个方向可以选取不同的积分点数。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,60,3）Irons积分方案 对三维六面体积分每个方向使用n点Newton-Cotes积分，需 n3个点，在 每个方向的精度为n-1次。每个方向使用m点Gauss积分，需 m3个点，在每个方 向的精度为2m-1次。Irons积分方案通过三个方向优化节点位置，提高积分精度。,5.4 数值积分方法,有限元法基础,61,5.4 数值积分方法,有限元法基础,62,5.4 数值积分方法,有限元法基础,63,4）Hammer积分方案 讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分,5.4 数值积分方法,有限元法基础,64,5.4 数值积分方法,有限元法基础,65,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,66,积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择,计算精度计算工作量计算成本,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,67,选取积分点个数的原则1）保证积分精度2）保证总体刚度矩阵满秩3）有较好的计算效率,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,68,1）保证积分精度以一维单元刚度矩阵积分为例 积分限标准化，并设Jacobi行列式为常数,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,69,对多数弹性力学问题Ni 插值函数：p 阶多项式D 微分算子：最高导数 阶次 m 原被积函数为2（p m）阶多项式,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,70,为保证积分精度，Gauss积分点数为n，应有 按此规则选取积分点个数，才能使被积函数达到精度。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,71,对二维和三维单元 按一维的方法选 nxn 或nxnxn 个积分点，可能被积函数达不到精确积分的要求！原因1：Jacobi行列式可能不是常数,这样提高了被积函数的阶次。当物理坐标中的单元 平行四变形（2D）平行六面体（3D）,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,72,解决办法1）适当提高积分点数，以适应精度2）剖分网格时，尽量避免过分扭曲单元,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,73,例：不同形状网格剖分的悬臂梁,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,74,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,75,原因2：B矩阵中包含有高阶非完全项 原插值函数：p阶完备多项式 p阶非完全项采用精确积分方案，应以p为准，即,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,76,例：二维4节点单元优化积分方案：p=1,n=p-m+1=1,一点积分非完全项含有,精确积分方案：积分点 2x2,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,77,例：二维8节点单元优化积分方案：p=2,n=p-m+1=2,2x2积分精确积分方案：非完全项含有，积分点 3x3,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,78,在实际计算单元刚度矩阵时，还有其他方面的考虑。,实际的Gauss积分点数 精确积分要求的积分点数,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,79,精确积分是非完全项所要求，决定有限元的精度是完全多项式，选取较低的Gauss积分已保证完备项的要求，可提高计算效率位移元得到的解是下限解，往往偏刚，降阶积分可减少单元的刚度对于畸形单元，积分中含有 本身也不可能精确积分,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,80,2）保证总体刚度矩阵满秩系统总自由度数N系统节点数 X 每节点自由度约束数约束数 刚体位移数,施加边界条件后，总刚度矩阵非奇异 存在，方程有解。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,81,矩阵的秩1）矩阵相乘2）矩阵相加,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,82,单元刚度矩阵的计算公式C是dXd的方阵，d是应变数量，三维问题为6，平面问题为3，轴对称问题为4。一般情况下，秩BdM个单元的结构,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,83,是K非奇异的必要条件。,系统独立的自由度数N超过(或)全部积分点nG提供的独立关系数，则K必然奇异。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,84,例：平面8节点单元独立DOF数 N2x8-3=13精确积分3x3减缩积分2x2减缩积分下K是奇异的。,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,85,2x2积分的平面8节点单元的零能变形模式,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,86,零能变形模式（Zero Energy Deformation Mode）：一种由刚度矩阵产生的变形能为零的非刚体位移的变形模式。非刚体位移模式 q也称为 Spurious Kinematic Mode,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,87,例:平面问题的奇异性,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,88,5.5 数值积分阶次的选择,有限元法基础,89,5.6 小结,有限元法基础,90,等参元在有限元法中占有非常重要的位置精确积分方案只是一个相对的单元的积分方案是与单元的应用有关的为提高计算效率，多数单元使用了减缩积分或选择减缩积分，并使用了沙漏控制技术,5.6 小结,有限元法基础,91,商业软件中等参元大多是经过特殊处理的 例如，ANSYS中 Plane42为非协调元（QM6）Solid45为非协调元 Plane182为使用选择减缩积分单元 Plane183使用减缩积分单元 Solid185使用选择减缩积分单元 Solid186使用减缩积分单元,