有理函数积分等.ppt

4.3内容回顾,分部积分公式,1.使用原则:,2.使用经验:,“反对幂指弦”,前 u 后,3.题目类型:,分部化简;,循环解出;,递推公式,4.补充多次分部积分的快速计算法:,(u是保留部分,v是凑得部分),多次分部积分,快速计算表格:,特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.,注:,是,的原函数,例11.求,解:取,说明:此法特别适用于,如下类型的积分:,例12.求,解:,令,则,=,(前面已讲过),备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部,再换元),令,则,1.,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,4.4 有理函数的积分,本节内容:,第四章,一、有理函数的积分,1.有理函数的定义,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式+真分 式,分解,若干部分分式之和,函数,称为有理函数.,其中分子分母分别为n次和m次多项式,且,总假定无公因式.,(其形式由分母的因子决定),2.多项式分解定理,其中,3.真分式分解成部分分式的和(nm),+,+,4.有理函数的积分,有理函数,的积分,转化为下列三种形式的积分,多项式的积分,(容易),(容易),(容易),记,再利用递推公式或三角替换(P206例27),(已讲但不需要记忆),至此,理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数为初等函数.,但有两大难点:,1)部分分式中系数的确定,2)分母的因式分解,且有时无法解决.,(有时很繁),例1.将下列真分式分解为部分分式:,解:,(1)用拼凑法,(2)用赋值法,故,通分得,得,令,得,令,得,(3)混合法,原式=,两边x，再取极限（x）得,再令x=0得,(4)比较系数法,原式=,通分后的分子恒等,比较系数得,解得,例2.求,解:已知,例3.求,解:原式,例4.求,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5.求,解:原式,例6.求,解:原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换法,t 的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,代入原积分得,转化为,例7.求,解:令,则,例8.求,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,例9.求,解:,原式,2.简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例10.求,解:令,则,原式,例11.求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,例12.求,解:令,则,原式,(1)+1,原式,令,例13,P218(24),内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,思考与练习,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,作业,P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,21,三角函数的积分要重视,（因为）,令,此题有多种解法,的积分,备用题1,令,（不妨设t）,还原,2.,时，得相同的结果。,可作不同的三角代换，但很麻烦。,解:,解:令,3.,+1,原式=,