线代数综合练习题三.ppt

线 性 代 数 综 合练 习 题（三）,一、填空题：,解：把行列式按第一列展开,第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，,解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶子式，故 为零矩阵，所以 0。,解：对下面矩阵施行初等行变换,解：因为A的任意行和为2，所以,所以5为 的一个特征值。,解：,所以答案为,二、选择题,线性无关,线性表示,答:正确的结论为C.,线性相关,线性表示,解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即,解得,所以选(c).,解：因为AB为m阶方阵，当 时，有,所以选(b).,4、A为n阶方阵，则 必为,正交阵；(b)对称阵;(c)可逆阵；(d)正定阵。,解：,所以 为对称矩阵。,5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是,(a)ACB=E;(b)CBA=E;(c)BAC=E;(d)BCA=E.,解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的逆矩阵为BC，因此有,BCA=E，故选(d).,故选(d).,6、已知A为正交矩阵，则 为,(a)1;(b)-1;(c)0;(d)1 或 1。,1.设三阶矩阵,其中 均为三维行向量.且,求,解:,三，计算下面各题：,解：因为 是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵 A与单位矩阵E等价，而 由它们线行表示，就是求方程组 的解，因此对矩阵,施行初等行变换,其中,为AX=b的解，,为AX=b的一个特解，,为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为,(其中 为任意实数),解：由已知得,5、设向量组A：,解：由 为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换，,所以，秩 为3，,为一个极大无关组。,四、设线性方程组,判断其相容性，若相容，求出其所有解。,解：对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换,可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为,取 为自由未知量，得方程组的所有解为,(其中 c 为任意实数)。,五、设方阵,问：A是否可以对角化，若 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。,解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使 即A能对角化；,解特征方程 得A的 特征值，,得基础解系的解向量为,它们已经正交，只需单位化取,得基础解系的解向量为,为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵，易证,其中,解：二次型矩阵为,解A的特征多项式,即,解得A的特征值为,当 时，解方程组,当 时，解方程组,得基础解系,当 时，解方程组,得基础解系,单位化得,由 为列作正交矩阵,易验证,所以二次型经正交变换X=PY 化为标准形,所用的正交变换为,当 时，B为正定阵。,完,