线代复习终极资料2.PPT
第二章 重点,注：用矩阵的初等变换可解决：判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵的逆矩阵；解矩阵方程；求矩阵的秩；求矩阵的标准形。（矩阵的初等变换还有许多用处，见以后各章）,矩阵可逆的判别、矩阵的秩的概念、矩阵的初等变换。,1.逆矩阵的运算规则,(A,B皆为方阵),三、一些结论,2.n 阶方阵A可逆的充要条件,A可逆,3.关于矩阵秩的关系式,第三、四章内容总结,一、理论发展脉络,秩、最大无关组,线性相关,基、维数,向量组等价讨论,基础解系、维数,解的结构,1 向量,解线性方程组,矩阵的秩,求向量组的秩和最大无关组,2 矩阵,求向量空间的基和维数,判别向量组的线性相关性,求向量在基下的坐标,解矩阵方程,求可逆矩阵的逆矩阵,2 若向量组 是向量空间V的一个基，则 V可表示为,一些概念：向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间,向量空间,1 等价的向量组所生成的向量空间相同。,一些结论,结论2表明，此时V中向量可用一个统一的式子表出。,内容回顾,定义 称解空间S的基为方程组 AX=0 的基础解系。,结论 2 若R(A)=r,则解空间S的维数等于 nr。（其中 n 为方程组中未知变量的个数）,结论 1 齐次线性方程组 AX=0 的解的全体是一个向量 空间。（记为 S，称S为解空间。）,称（*）式为齐次方程组AX=0的通解。,B,解：应填.,03年考研题,以上命题中正确的是,练 习,例(P94 例 2)求解方程组,解 对系数矩阵施行初等行变换变为行最简形,同解方程组：,通解为：,例 设A,B都是 n 阶方阵,且AB=0,证明 R(A)+R(B)n,见P94例3,证 将矩阵 B 按列分块,则,由 AB=0,即B的每一个列向量皆为方程组 AX=0 的解向量。,又若R(A)=r，则解空间S的维数：维(S)=nr。,非齐次线性方程组,设有非齐次方程组,向量形式,矩阵形式 AX=b 其中Amn为系数矩阵(6),结论 对非齐次方程组(4)来说,下面四种说法等价：,方程组（4）有解；向量 b 能由向量组 a1,a2,an 线性表示；向量组 a1,a2,an 与向量组 a1,a2,an,b 等价；矩阵 A=(a1,a2,an)与B=(a1,a2,an,b)的秩相等。,通常称 A为系数矩阵，称 B=(A，b)为增广矩阵。,定理 1 非齐次方程组有解的充分必要条件为：它的系数 矩阵A与增广矩阵B的秩相等。,即 AX=b 有解 充要条件为 R(A)=R(B)。故知 当R(A)R(B)时，方程组无解。,利用增广矩阵,方程组(4)的解的判定条件常表述为：,非齐次方程组的解的结构。,性质 2,非齐次方程的通解=对应齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解,是对应齐次方程的基础解系，,若设,则非齐次方程 AX=b的通解可表示为,对于非齐次线性方程组,在有无穷多解时，通解为,向量组的相关性讨论,向量组的秩和最大无关组的讨论求向量组的秩和最大无关组、并将其余向量用此 最大无关组线性表示。关于矩阵秩命题的讨论 解齐次、非齐次方程组；带有参数的非齐次方程组的解的讨论；一些综合问题。,二、典型习题类型,1.n 阶方阵A可逆的充要条件,A可逆,三、一些结论,2.关于矩阵秩的关系式,答 应选 C).,因为 线性相关,而 线性无关,补充例题,答 应选 D).注意线性无关的向量组不可能由个数比它少的向量组线性表示。,补充例题,例3,证 设有一组数,98年考研题,例4,补充例题,(1)设非齐次方程组 AX=b，R(A)=n-1,其中 n 是未知数的个数，,是方程组的两个不同的解，则,方程组的通解为。,补充例题,(2)若线性方程组,有解,则常数 应满足条件()。,例5,(2)若线性方程组,有解,则常数 应满足条件()。,解 增广矩阵,易见，方程组有解,证 由于A组、B组皆可由C 组线性表示，故有,例6(P87第1题)设向量组A：的秩为 r1，向量组B：的秩为 r2，向量组 C：的秩为 r3，证明：,下证,当 r1=0，r2=0时，结论显然成立。,从而，,补充例题,于是C组中任一向量可由,在 r10，r20时，可不妨设：,是A组的最大无关组,是B组的最大无关组,线性表示，从而,例6(P87第1题)设向量组A：的秩为 r1，向量组B：的秩为 r2，向量组 C：的秩为 r3，证明：,答 应选 B).,例 7,04年考研题,评点：请注意A*与A的秩之间的关系(参见P104习题7).,02年考研题,例 8,解,(A),(B),(D),例 9,02年考研题,注意:A)表示有唯一解,C)表示两两有公共解,D)表示某 方程分别与另两方程有公共解.,(A),(B),(D),抽象的线性空间与线性变换 其基本内容如下,第六章 总结,典型例题,一、线性空间的判定,二、子空间的判定,三、求向量在给定基下的坐标,四、由基和过渡矩阵求另一组基,五、过渡矩阵的求法,六、线性变换的判定,七、有关线性变换的证明,八、线性变换在给定基下的矩阵,九、线性变换在不同基下的矩阵,线性空间的定义,那么，就称为（实数域 上的）向量空间（或线性空间），中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量,简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间,线性空间的性质,子空间,定义设 是一个线性空间，是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是：对于 中的线性运算封闭,定义,线性空间的维数、基与坐标,定义,基变换,坐标变换,线性变换的定义,变换的概念是函数概念的推广,线性变换的性质,线性变换的矩阵表示,10线性变换在给定基下的矩阵,同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵,11线性变换在不同基下的矩阵,
