曲面积分与曲线积分.ppt

,102 对坐标的曲线积分,三、两类曲线积分之间的联系,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算,第二类曲线积分的定义、,定义的推广,对坐标的曲线积分的性质,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功：,设在xOy面内有一个质点，在变力F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(x,y)所作的功,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,变力沿曲线所作的功：,A,B,L,用点AA0，A1，A2，An1，AnB把L分成 n个小弧段，,F(xk,yk),P(xk,yk)costk Q(xk,yk)sintksk,则,于是，变力F(x,y)所作的功,从而,这里tt(x,y)，cost,sint是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量,对坐标的曲线积分的定义：,设L为xOy面上一条光滑有向曲线，cost,sint是与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y)、Q(x,y)在L上有定义 如果下列二式右端的积分存在，我们就定义,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分,定义的推广：,设G为空间内一条光滑有向曲线，cosa,cosb,cosg是曲线在点(x,y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在),对坐标的曲线积分的简写形式：,对坐标的曲线积分的性质：,(1)如果把L分成L1和L2，则,(2)设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，则,二、对坐标的曲线积分的计算,应注意的问题：下限 a 对应于 L 的起点，上限 b 对应于L的终点，a不一定小于b,定理：设P(x,y)、Q(x,y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数方程为,当参数t单调在由a 变到b 时，点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B，则,若空间曲线G由参数方程xj(t)，y=y(t)，zw(t)给出，曲线的起点对应于t=a，终点对应于t=b，那么曲线积分,讨论：,如何计算？,Pj(t),y(t),w(t)j(t)Qj(t),y(t),w(t)y(t)Rj(t),y(t),w(t)w(t)d t,提示：,B(1,1)的一段弧,解 第一种方法：以x为积分变量L分为AO和OB两部分,因此,B(1,1)的一段弧,解 第二种方法：以y为积分变量L的方程为xy2，y从1变到1,因此,xy2,(1)L为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2)L为从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段,q 从0变到,解(1)L 的参数方程为,xa cosq，ya sinq，,A(a,0),B(a,0),(2)L的方程为y0，x从a变到a,因此,因此,(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1),A(1,0),B(1,1),yx2,xy2,(1)抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；,(2)抛物线xy2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；,解(1)L：yx2，x从0变到1所以,(2)L：xy2，y从0变到1所以,(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1),A(1,0),B(1,1),yx2,xy2,(1)抛物线yx2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；,(2)抛物线xy2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；,=0+1=1,解(3)L=OA+AB，,点B(0,0,0)的直线段,x3t，y2t，xt，t从1变到0所以,例5 设一个质点在M(x,y)处受到力F的作用，F的大小与M 到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点 此质点由点A(a,0)沿,按逆时针方向移动到点B(0,b)，求力F所作的功,解 椭圆的参数方程为,由假设有Fk(x iy j)，其中k0是比例常数于是,A,B,F,三、两类曲线积分之间的联系,由定义，得,即,类似地有,若令FP,Q,R，Tcosa,cosb,cosg为有向曲线弧G上点(x,y,z)处单们切向量，drT ds dx,dy,dz，则上述关系可写为,