曲线的极坐标方程.ppt

第十五章 选考部分,第二节 曲线的极坐标方程,第二讲 坐标系与参数方程,课前自主学案,知识梳理,一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(，)=0，并且坐标适合方程f(，)=0的点都在曲线C上，那么方程f(，)=0叫做曲线C的极坐标方程.,2.直线的极坐标方程（1）过极点且与极轴成角的直线方程是：=和=-；（2）与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)(a0)的直线方程为：cos=a；（3）与极轴平行且在x轴的上方，与极轴的距离为a的直线方程为：sin=a.,3.圆的极坐标方程（1）以极点为圆心，半径为r的圆的方程为：=r；（2）圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程上：=2rcos；（3）圆心在过极点且与极轴成/2的射线上，过极点，半径为r的圆的方程为：=2rsin.4.极坐标与直角坐标的互化公式,基础自测,1在极坐标系中，过极点，倾斜角为/3的直线方程是（）,解析：根据极坐标方程的定义，易知所求直线方程是=/3和=4/3故选D.答案：D,2把极坐标方程=-10cos化为直角坐标方程为（）A.x2+y2=-10 x B.x2+y2=-10yC.x2+y2=10 D.x2+y2=25,解析：把=-10cos的两边同乘以，得2=-10cos，再代入极坐标与直角坐标的互化公式，得直角坐标方程为x2+y2=-10 x.答案：A,3.(2009年上海卷）在极坐标系中，由三条直线=0,=/3,cos+sin=1围成图形的面积是_,解析：化为普通方程，分别为：y=0,y=,x+y=1,画出三条直线的图象如右图，可求得三角形AOB的面积为：答案：,4.（2009年广州一模）在极坐标系中，直线sin(+/4)=2被圆=4截得的弦长为_,答案：,课堂互动探究,已知圆C的圆心坐标为 半径为5，求圆C的极坐标方程.,解析：设点P（,）是圆C上的任意一点，如右图所示，由平面几知识可知，APO=90,PAO=,AO=10,sin=/10,=10sin.即所求圆C的极坐标方程为：=10sin,变式探究,1.已知圆A的圆心坐标为（2，0），半径为2，则圆A的极坐标方程是_,解析：由cos=/4,得=4cos.答案：=4cos,设点P的极坐标为(1，1)，直线l过P且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.,分析：用直接法求解,解析：如右图所示，设M(,)为直线l上除点P外的任意一点，连接OM，则|OM|=，xOM=.由点P的极坐标为(1，1)知，|OP|=1，xOP=1.设直线l与极轴交于点A，已知直线l与极轴成角，所以xAM=.在MOP中，OMP=-，OPM=-(-1)，由正弦定理得,显然，点P的坐标(1，1)是上述方程的解.所以，上述方程就是直线l的极坐标方程.,点评：本例题很好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法，注意与直角坐标方程的求解方法相互比较，仔细揣摩.,变式探究,2.求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程.,解析：如右图所示，设M(,)为直线l上，除点A外的任意一点，连接OM，由RtMOA有|OM|cosMOA=|OA|，即cos=a.可以验证，点A(a,0)满足上式.所以，cos=a.就是所求直线的极坐标方程。,把极坐标方程=2cos-4sin化成直角坐标方程.,分析：直接运用极坐标与直角坐标的互化公式即可.,解析：把=2cos-4sin两边同乘以，得到2=2cos-4sin，即 x2+y2=2x-4y，所以，所求的直角坐标方程是(x-1)2+(y-2)2=5。,点评：熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，熟练进行恒等变形是这个问题的目的所在.,3.把直角坐标方程2x-3y-1=0化成极坐标方程.,变式探究,解析：把x=cos,y=sin代入2x-3y-1=0，即得所求的极坐标方程是2cos-3sin-1=0,已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b(ab0)，A,B分别为椭圆上的两点，且OAOB.（1）求证：为定值；（2）求AOB面积的最大值和最小值.,分析：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及到长度和角度问题，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算.,解析：（1）以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为,将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，得,（2）,点评：恰当的选用极坐标系，有时能够有效地提供解决解析几何问题的方法和思路，提高问题解决的速度.,变式探究,证明：以原直角坐标系的Ox轴为极轴建立极坐标系.那么双曲线的极坐标方程为,温馨提示,1.根据极坐标方程的定义，求曲线的极坐标方程与求曲线的直角坐标方程类似，一般步骤是：建立适当的极坐标系；列出动点所满足的关系式；将上述关系式用动点坐标(,)的解析式来表示；化简得到的解析式；证明所得到的方程就是所求的曲线方程.求曲线的极坐标方程的主要方法有：直接法、几何法以及相关点法.,2.由于极坐标中极径和极角鲜明的简化特征，所以在处理与角度和距离有密切关系的问题时，用极坐标更容易表示已知的条件，代数变换也更加直接，再加上几何的直观性，因而解题过程显得简洁、明了；但是，在极坐标系中，判别曲线形状及其位置关系、计算距离和角度等等问题，通常需要先转化为直角坐标，在直角坐标系中求解后再转化为极坐标.这样一来，处理极坐标问题的有两个基本策略：其一直接用极坐标；其二转化为直角坐标，选择的基本原则就是简单性.,题型展示台,（2009年辽宁卷）坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为,（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.,解析：,（2009年安徽卷）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为,它与曲线 相交于两点A和B，则|AB|=_,解析：直线的普通方程为y=x,曲线的普通方程,答案：,题型训练,1.（2009年梅州一模）在极坐标系中，圆=2上的点到直线 的距离的最小值是_,答案是：1,2.在极坐标系中，圆=2cos的圆心的极坐标是_，它与方程 所表示的图形的交点的极坐标是_,答案是,祝,您,学业有成,