曲线拟合的最小二乘法.ppt

第三章 曲线拟合的最小二乘法,3.1.最小二乘法的提法,需要从一组给定的数据,中，寻找自变量X与变量y之间的关系,例：60年代世界人口增长情况如下：,年 1960 1961 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83,有人根据以上数据预测2000人口会超过60亿，现在已经成为现实,给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。,问题：,因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。,设近似函数为：,函数值,与观测值,之差称为残差,可以用残差来衡量近似函数的好坏,多项式拟合,设已知点,求m次多项式,来拟合函数,需要求出多项式的m+1个待定系数即可，且使得以下函数值达到最小,F（a0，a1，am）=,=,拟合问题的几何背景是寻求一条近似通过给定离散点的曲线，故称曲线拟合问题。,要是函数值达到最小，由高等数学知识有：,j=0，1，2，m,于是得到法方程,即,可以证明该方程组有唯一解,例1：求数据,xi 1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1,yi 0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 2.0003 2.5645 3.1334 3.7601 4.2836,解得,最小二乘二次拟合多项式为P2（x）=2.00342.2625x0.0378x2,的最小二乘二次拟合多项式。,解：设二次拟合多项式为P2（x）=a0a1xa2x2，将数据代入得线性方程组,法方程组的一般形式：,法方程组可写成以下形式,令,则法方程系数矩阵为：,常数项为：,3.2.2 指数拟合,对已知点,在坐标上描点，这些点若近似一条指数曲线，,来拟合,可以先做出,的一次线性拟合,则考虑用指数函数,例2 设一发射源强度公式为,观测数据如下,ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Ii 3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56,试用最小二乘法确定I与t的关系式。,解：将观测数据化为,ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnIi 1.1506 0.8671 0.5596 0.2827 0.0000 0.3011 0.5798,求最小二乘拟合直线，代入法方程公式得：,解得,所以 I0=,=5.64,a=2.89,则 I=5.64e2.89t,3.2.3 最小二乘法一般形式,j，k=0，1，2，m,j=0，1，2，m,为线性无关的基函数,求驻点，令,即,令,则法方程组可写成以下形式,函数空间的基,然后列出法方程,函数空间的基,然后列出法方程,例3,