无穷小的比较最后修改.ppt

第七节 无穷小的比较,一 问题的提出,三 两个定理,四 小结 思考题,二 定义无穷小的比较,帮助,返回,一、无穷小的比较,例如,观察各极限,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,定义:,设，是同一过程中的两个无穷小，且,如果，称 是比 高阶的无穷小，记作；,如果，称 是比 低阶的无穷小；,如果，称 与 是同阶的无穷小；,如果,称 是 的k阶的无穷小;,如果，称 与 是等价的无穷小,记作,，当 时，是比 高阶的无穷小，说明 比 趋近于0的速度快些。,，当 时，是比 低阶的无穷小。,，当 时，与 是同阶无穷小。,，当 时，是关于 的二阶无穷小。,定理1：与 是等价无穷小的充分必要条件是,证,于是有，.,二、等价无穷小替换,设，且 存在，则.,证,意义:,求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。,定理(等价无穷小替换定理),错,解,解,例3,例4,解,三、小结,1.无穷小的比较:,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,2.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,思考题,任何两个无穷小量都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,