无穷小和无穷大.ppt

第三节 无穷小量与无穷大量,无穷小量,1.定义1 设 f(x)在某U(x0)内有定义.若 则称 f(x)为当 xx0 时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时,有,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,其中 为,时的无穷小量.,定理2.3.1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,2.3.2、无穷大,定义2.若任给 M 0,一切满足不等式,的 x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X),记作,总存在,概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限).,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,例.证明,证:任给正数 M,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,在自变量的同一变化过程中,无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如,当,时,又如，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1.证明:当,时,证:,证:,即,即,例如,故,设,且,存在,则,证:,例如,无穷小量的等价替换定理,求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小量来代替 因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计算简化,定理3.12的意义:,常用等价无穷小:,无穷小量的等价替换定理的几何意义,解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以,说明 只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.,例.求,解:,原式,2.3.4 等价无穷小代换在极限运算中的应用,