无失真和限失真信源编码.ppt

1,5.2 无失真信源编码,信源输出 X(X1X2XlXL)，Xla1，a2，ai，an编码为 Y(Y1Y2Yk YkL)，Ykb1，b2，bj，bm 要求能够无失真或无差错地译码，同时传送Y时所需要的信息率最小。,2,5.2 无失真信源编码,Yk平均每个符号的最大信息量为log m，KL长码字的最大信息量为KLlog m。用该码字表示L长的信源序列，则传送一个信源符号需要的信息率平均为,M为Y所能编成的码字的个数,3,5.2 无失真信源编码,信息率最小:就是找到一种编码方式使 最小。无失真信源编码定理研究的内容:最小信息率为多少时，才能得到无失真的译码？若小于这个信息率是否还能无失真地译码。,4,5.2 无失真信源编码,无失真的信源编码定理定长编码定理变长编码定理,K是定值 且惟一可译码 编码的目的：寻找最小K值。,5,5.2.1 定长编码定理,由L个符号组成的、每个符号的熵为HL(X)的无记忆平稳信源符号序列X1X2XlXL，可用KL个符号Y1，Y2，Yk，YKL(每个符号有m种可能值)进行定长编码。对任意0，0，只要 则当L足够大时，必可使译码差错小于；反之，当 时，译码差错一定是有限值，而L足够大时，译码几乎必定出错。,6,5.2.1 定长编码定理,定长编码定理说明：,码字所能携带的信息量大于信源序列输出的信息量，则可以使传输几乎无失真，当然条件是L足够大。,7,5.2.1 定长编码定理,反之，当 时，不可能构成无失真的编码，也就是不可能做一种编码器，能使收端译码时差错概率趋于零。时，则为临界状态，可能无失真，也可能有失真。,8,5.2.1 定长编码定理,例:信源有8种等概率符号,L=1,信源序列熵达到最大值,H(x)=3bit/符号,即K=3bit/符号=H(x).当信源符号输出概率不相等时,若p(ai)=0.4,0.18,0.1,0.1,0.07,0.06,0.05,0.04,则H(x)=2.55bit/符号用22.55=5.856种可能的码字,9,5.2.1 定长编码定理,在这种编码方式下，若差错概率为Pe，据切比雪夫不等式可导出,10,5.2.1 定长编码定理,式中 为自信息方差,为一正数。当 和 均为定值时，只要L足够大，Pe可以小于任一正数。即，,在这种编码方式下，若差错概率为Pe，据切比雪夫不等式可导出,11,5.2.1 定长编码定理,当信源序列长度L满足 时，能达到差错率要求,12,5.2.1 定长编码定理,在连续信源的情况下，由于信源的信息量趋于无限，显然不能用离散符号序列Y来完成无失真编码，而只能进行限失真编码。,13,5.2.1 定长编码定理,定义为编码效率，即信源的平均符号熵为H(X)，采用平均符号码长为 来编码，所得的效率。编码效率总是小于1，且最佳编码效率为,14,5.2.1 定长编码定理,编码定理从理论上阐明了编码效率接近1的理想编码器的存在性，它使输出符号的信息率与信源熵之比接近于1，即,L取无限长,15,5.2.1 定长编码定理,例1设离散无记忆信源概率空间为,比特/符号,16,5.2.1 定长编码定理,对信源符号采用定长二元编码，要求编码效率为 90，若取L1，则可算出,2.55 90%=2.8比特/符号,Pe0.04 太大,17,5.2.1 定长编码定理,若要求译码错误概率,18,5.2.2 变长编码定理,变长编码定理在变长编码中，码长K是变化的 根据信源各个符号的统计特性，如概率大的符号用短码，概率小的用较长的码，使得编码后平均码长降低，从而提高编码效率。（统计匹配）,19,5.2.2 变长编码定理,单个符号变长编码定理：若离散无记忆信源的符号熵为H(X)，每个信源符号用m进制码元进行变长编码，一定存在一种无失真编码方法，其码字平均长度满足下列不等式,20,5.2.2 变长编码定理,离散平稳无记忆序列变长编码定理：对于平均符号熵为HL(X)的离散平稳无记忆信源，必存在一种无失真编码方法，使平均信息率满足不等式其中为任意小正数。,21,5.2.2 变长编码定理,用变长编码来达到相当高的编码效率，一般所要求的符号长度L可以比定长编码小得多。编码效率的下界:,22,5.2.2 变长编码定理,编码效率总是小于1，可以用它来衡量各种编码方法的优劣。为了衡量各种编码方法与最佳码的差距，定义码的剩余度为,23,5.2.2 变长编码定理,例2设离散无记忆信源的概率空间为,24,5.2.2 变长编码定理,若用二元定长编码(0，1)来构造一个即时码：。平均码长 1二元码符号/信源符号,输出的信息效率为R0.811比特/二元码符号,编码效率为,25,5.2.2 变长编码定理,例3.长度为2的信源序列进行变长编码（编码方法后面介绍），其即时码如下表,26,5.2.2 变长编码定理,二元码符号/信源序列,二元码符号/信源符号,编码效率,信息效率R20.961比特/二元码符号,27,5.2.2 变长编码定理,L3 R30.985比特/二元码符号 L4 R40.991比特/二元码符号,28,5.2.2 变长编码定理,若对这个信源采用定长二元码编码，要求编码效率达到96时，允许译码错误概率,29,5.2.3 最佳变长编码,最佳变长编码 凡是能载荷一定的信息量，且码字的平均长度最短，可分离的变长码的码字集合称为最佳变长码。,30,5.2.3 最佳变长编码,能获得最佳码的编码方法主要有：香农（Shannon）费诺（Fano）哈夫曼（Huffman）等,31,5.2.3 最佳变长编码,一、香农（Shannon）编码1、将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列2、确定满足下列不等式的整数码长Ki。,32,5.2.3 最佳变长编码,为了编成唯一可译码，计算第i个消息的累加概率将累加概率Pi变换成二进制数。取Pi二进数的小数点后Ki位即为该消息符号的二进制码字。,33,5.2.3 最佳变长编码,例4 设信源共7个符号消息，其概率和累加概率如下表所示。,34,5.2.3 最佳变长编码,设以i=4为例，求得,35,5.2.3 最佳变长编码,码元/符号,比特/码元,信源符号的平均码长为,平均信息传输率为,36,5.2.3 最佳变长编码,例5 设信源有3个符号,概率分布为(0.5,0.4,0.1)，写出其香农编码。,解：由于p1=0.5，p2=0.4，p3=0.1 由 得 K1=1，K2=2，K3=4 累加概率为P1=0，P2=0.5，P3=0.9,37,5.2.3 最佳变长编码,(0)10=(0)2，(0.5)10=(0.10)2(0.9)10=(0.1110)2，,K1=1，K2=2，K3=4,得编码码字分别为0，10，1110。,38,5.2.3 最佳变长编码,二、费诺编码方法费诺编码属于概率匹配编码(1)将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列：。(2)将依次排列的信源符号按概率值分为两大组，使两个组的概率之和近于相同，并对各组赋予一个二进制码元“0”和“1”。,39,5.2.3 最佳变长编码,(3)将每一大组的信源符号进一步再分成两组，使划分后的两个组的概率之和近于相同，并又赋予两个组一个二进制符号“0”和“1”。(4)如此重复，直至每个组只剩下一个信源符号为止。(5)信源符号所对应的码字即为费诺码。,40,5.2.3 最佳变长编码,例6 对以下信源进行费诺编码。,41,5.2.3 最佳变长编码,码元/符号,bit/符号,信源符号的平均码长为,平均信息传输率为,42,5.2.3 最佳变长编码,三、哈夫曼编码方法(1)将信源消息符号按其出现的概率大小依次排列，(2)取两个概率最小的字母分别配以0和1两个码元，并将这两个概率相加作为一个新字母的概率，与未分配的二进符号的字母重新排队。,43,5.2.3 最佳变长编码,(3)对重排后的两个概率最小符号重复步骤(2)的过程。(4)不断继续上述过程，直到最后两个符号配以0和1为止。(5)从最后一级开始，向前返回得到各个信源符号所对应的码元序列，即相应的码字。,44,5.2.3 最佳变长编码,例7 对以下信源进行哈夫曼编码,45,5.2.3 最佳变长编码,46,5.2.3 最佳变长编码,码元/符号,bit/符号,信源符号的平均码长为,平均信息传输率为,47,5.2.3 最佳变长编码,哈夫曼编码方法得到的码并非唯一的每次对信源缩减时，赋予信源最后两个概率最小的符号，用0和1是可以任意的，所以可以得到不同的哈夫曼码，但不会影响码字的长度。,48,5.2.3 最佳变长编码,对信源进行缩减时，两个概率最小的符号合并后的概率与其它信源符号的概率相同时，这两者在缩减信源中进行概率排序，其位置放置次序是可以任意的，故会得到不同的哈夫曼码。此时将影响码字的长度，一般将合并的概率放在上面，这样可获得较小的码方差。,49,5.2.3 最佳变长编码,50,5.2.3 最佳变长编码,例8 设有离散无记忆信源,51,5.2.3 最佳变长编码,0.4 0.4 0.4 0.6 1.0 0.2 0.2 0.4 0.40.2 0.2 0.20.1 0.2 0.1,0.4 0.4 0.4 0.6 1.0 0.2 0.2 0.4 0.40.2 0.2 0.20.1 0.20.1,52,53,5.2.3 最佳变长编码,哈夫曼编码,54,5.2.3 最佳变长编码,由此可见，第二种码的质量好。,码元/符号,两种编码方法的平均码长和编码效率都相等,但两种码的质量不完全相同,可用码方差来表示。,55,5.2.3 最佳变长编码,进行哈夫曼编码时，为得到码方差最小的码，应使合并的信源符号位于缩减信源序列尽可能高的位置上，以减少再次合并的次数，充分利用短码。,56,5.2.3 最佳变长编码,哈夫曼码是用概率匹配方法进行信源编码。哈夫曼码的编码方法保证了概率大的符号对应于短码，概率小的符号对应于长码，充分利用了短码；缩减信源的最后二个码字总是最后一位不同，从而保证了哈夫曼码是即时码。,57,m元霍夫曼码,前面讨论的二元霍夫曼码的编码方法,我们可以推广到m元编码中。不同的只是每次把概率最小的m个符号合并成一个新的信源符号，并分别用0，1，（m1）等码元表示。为了使短码得到充分利用，使平均码长最短，必须使最后一步的缩减信源有m个信源符号。因此对于m元编码，信源U符号个数n必须满足：n（m1）Qm 式中：n信源符号个数；m进制数（码元数）；Q缩减次数。,58,下面给出m元霍夫曼编码步骤：,(1)验证所给n是否满足式n（m1）Qm，若不满足该式，可以人为地增加一些概率为零的符号，以使最后一步有m个信源符号；(2)取概率最小的m个符号合并成一个新结点，并分别用0，1，（m）给各分支赋值,把这些符号的概率相加作为该新结点的概率；(3)将新结点和剩下结点重新排队，重复（2），如此下去直至树根。(4)取树根到叶子（信源符号对应结点）的各树枝上的赋值，得到各符号码字。,59,【例9】已知离散无记忆信源,n=5，m=3，代入公式 n=(m-1)Q+m 得 Q=1,60,信源熵：,两种编码的平均码长分别为,因为lb31.58bit,lb42bit，所以其编码效率分别为,61,5.2.无失真信源编码,无失真信源编码的实质就是对离散信源进行适当的变换，使变换后新的码符号信源（信道的输入信源）尽可能为等概率分布，以使新信源的每个码符号平均所包含的信息量达到最大，从而使信道的信息传输率和信道容量相等，实现信源与信道理想的统计匹配，这也是香农第一定理的物理意义。,62,5.3 限失真信源编码定理,信息率失真函数给出了失真小于D时所必须具有的最小信息率R(D)；只要信息率大于R(D)，一定可以找到一种编码，使译码后的失真小于D。,63,5.3 限失真信源编码定理,限失真信源编码定理：设离散无记忆信源X的信息率失真函数R(D)，则当信息率RR(D)，只要信源序列长度L足够长，一定存在一种编码方法，其译码失真小于或等于D，为任意小的正数。反之，若RR(D)，则无论采用什么样的编码方法，其译码失真必大于D。,64,5.3 限失真信源编码定理,如果是二元信源，对于任意小的，每一个信源符号的平均码长满足如下公式,65,5.3 限失真信源编码定理,在失真限度内使信息率任意接近R(D)的编码方法存在。然而，要使信息率小于R(D)，平均失真一定会超过失真限度D。对于连续平稳无记忆信源，无法进行无失真编码，在限失真情况下，有与上述定理一样的编码定理。,66,5.3 限失真信源编码定理,限失真信源编码定理只能说明最佳编码是存在的，而具体构造编码方法却一无所知。因而就不能象无损编码那样从证明过程中引出概率匹配的编码方法。一般只能从优化的思路去求最佳编码。实际上迄今尚无合适的可实现的编码方法可接近R(D)这个界。,