控制系统的稳定性分析.ppt

第4章 控制系统的稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 劳思-赫尔维茨判据,4.3 Nyquist稳定性判据,4.4 稳定性裕量,1940年，美国华盛顿州的塔科玛峡谷上花费640万美元，建造了一座主跨度853.4米的悬索桥。只要有风，这座大桥就会晃动。,建成4个月后，于同年11月7日碰到了一场风速为19米/秒的风。风不算大，但桥却发生了剧烈的扭曲振动，且振幅越来越大（接近9米），直到桥面倾斜到45度左右，使吊杆逐根拉断导致桥面钢梁折断而塌毁，坠落到峡谷之中。,原因：流体对物体会产生一个周期性的交变横向作用力，如果力的频率与物体的固有频率相接近,引起共振,使物体损坏。,第4章 控制系统的稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 劳思-赫尔维茨判据,4.3 Nyquist稳定性判据,4.4 稳定性裕量,自动控制系统稳定性的定义：控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统是不稳定的。（线性定常系统适用）,4.1 稳定性的基本概念,(a)稳定,(b)不稳定,稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,4.1 稳定性的基本概念,自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,设系统传递函数为：,假设系统特征方程的根中有K个实根，2k个共轭复根,在理想脉冲函数作用下，当t0时，r(t)=0,对于稳定系统，时输出量c(t)=0。,如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0，系统稳定。,此时R(s)=1,稳定性与零点无关，与系统特征方程有关。,4.1 稳定性的基本概念,系统特征方程的根全部具有负实部。,第4章 控制系统的稳定性分析,4.1 稳定性的基本概念,4.2 劳思-赫尔维茨判据,4.3 Nyquist稳定性判据,4.4 稳定性裕量,特点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。,劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,4.2 劳思-赫尔维茨稳定判据,不受系统阶数限制，如不稳定还能判断有几个根在s平面的右半部分。,只适用于低阶系统。,劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,4.2 劳思-赫尔维茨稳定判据,劳思阵列,劳思(routh)判据,如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。,控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。,“第一列中各数”,注：通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,劳思(routh)判据,劳思(routh)判据,已知：特征方程如下,例1：判断系统稳定性,所以，系统不稳定，具有两个正实根。,例2：求系统稳定时k的取值范围,例3：,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,劳思(routh)判据的特殊情况,各项系数均为正数,用任意小正数代之,特殊情况1：第一列出现0,S2行第一列出现0，说明系统处于临界稳定状态（不稳定），如要再求有几个正实部特征根，其解决方法：,特殊情况1：第一列出现0,特殊情况2：某一行元素均为0,劳思(routh)判据的特殊情况,全0行的上一行元素构成辅助方程,各项系数均为正数,求导后方程系数代入全零行,特殊情况2：某一行元素均为0,S3行出现全0，说明系统处于临界稳定状态（不稳定），如要再求有几个正实部特征根，其解决方法：,系统在s平面有对称分布的特征根,大小相等、符号相反的实根,共轭虚根,对称于实轴的两对共轭复根,原因分析：,特殊情况2：某一行元素均为0,课堂练习,P168 4-1(1)(5)4-2(1),劳思(routh)判据,赫尔维茨(Hurwitz)判据,4.2 劳思-赫尔维茨稳定判据,系统的n阶赫乐维茨行列式,取各阶主子行列式作为1阶（n-1）阶赫尔维兹行列式,赫尔维茨行列式,控制系统稳定的充分必要条件是：当a00时，各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零。,一阶系统,二阶系统,a00时,a10(全部系数同号),a00时,a10,a20(全部系数同号),a00时,a00时,赫尔维茨(Hurwitz)判据,三阶系统,a00时,a10,a20,a30(全部系数数同号),a00时,a1a2 a0 a3,四阶系统,a00时,a10,a20,a30,a40(全部系数数同号),a00时,一阶系统,a10(全部系数同号),a10,a20(全部系数同号),a10,a20,a30(全部系数同号),a1a2 a0 a3,a10,a20,a30,a40(全部系数同号),归纳：a00时,二阶系统,三阶系统,四阶系统,K值的稳定范围,应用P148表中四阶系统赫尔维茨判据,例题：求K值的稳定范围,课堂练习：单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：,判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。,结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。,特征矢量幅角变化与稳定性关系,一阶系统,D(s)可视为复平面上的向量。,特征方程：D(s)=s+p 0,4.3.1 米哈伊洛夫定理,4.3 Nyquist稳定性判据,当变化时，D(j)的端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。,在频域：D(j)=p+j,若特征根为负实根，系统稳定,若特征根为正实根，系统不稳定,二阶系统,特征方程：D(s)=s2+2ns+n2(s+p1)(s+p2)=0,实根情形(1),当由0变化到时：,共轭虚根情形(01),设根位于左半s平面,当由0变化到时，,j+p1的相角变化范围：-0/2,变化量：/2+0,j+p2的相角变化范围：0/2,变化量：/2-0,根位于右半s平面,共轭虚根情形(01),当由0变化到时，,j+p1的相角变化量：-/2-0,j+p2的相角变化量：-/2+0,若所有特征根都在左半s平面，则当由0变化到时,若有q个特征根在右半s平面，则当由0变化到时,n 阶系统,对于n阶系统，若有p个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上，其余n-p-q个根位于左半面，则当由0变化到时，矢量D(j)的相角变化量,米哈伊洛夫定理：,n阶系统稳定的条件：当由0变化到时，矢量D(j)的相角变化量,稳定系统,不稳定系统,临界稳定系统,Nyquist稳定判据,系统各特征多项式间的关系,开环含有积分环节,Nyquist稳定判据穿越法,Bode图中的Nyquist稳定判据,4.3.2 Nyquist稳定性判据,系统的开环传递函数,系统的闭环传递函数,系统各特征多项式间的关系,闭环特征多项式,开环特征多项式,设新变量F(s),F(s)建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数G(s)H(s)之间的关系,系统各特征多项式间的关系,S=j代入,Nyquist 稳定性判据是通过图解方法判断系统是否满足稳定的充分必要条件。也就是利用系统开环幅频特性G(j)H(j)来判断闭环系统的稳定性。,Nyquist稳定判据,情况一：开环稳定时,闭环稳定,开环稳定,系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当由0变化到时，1+G(j)H(j)轨迹不包围1+GH平面的原点。,系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当由0变化到时，开环G(j)H(j)轨迹不包围GH平面的(-1,j0)点。,在复平面上将1+G(j)H(j)的轨迹向左移动一个单位，便得到G(j)H(j)的轨迹,情况二：开环不稳定时,而闭环稳定要求：,设系统开环特征根有p个位于右半s平面，q个位于原点。,若系统开环不稳定，且有p个开环特征根位于右半s 平面，则闭环系统稳定的充要条件：当由0变化到时，开环G(j)H(j)相对（1，j0）点的角变化量为（p+q）。,:0,例：已知系统开环传递函数,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,当K1时，系统闭环稳定,当K1时，系统闭环不稳定,当K=1时，系统临界稳定,0,系统开环不稳定,情况二：开环不稳定时特殊情况,特殊情况，若q=0:,若系统开环不稳定，且有p个开环特征根位于右半s 平面，则闭环系统稳定的充要条件：当由0变化到时，开环G(j)H(j)轨迹逆时针包围 GH平面(-1，j0)点p/2次。,:0,而闭环稳定要求：,系统在闭环状态下是稳定的。,开环状态是不稳定的(m=2),G(j)H(j)轨迹逆时针方向包围(-1,j0)点一次,开环稳定G(j)轨迹相对(-1,j0)点角度变化90o闭环系统稳定。,系统开环不稳定，有1个开环特征根位于原点，则闭环系统稳定的充要条件：当由0变化到时，开环G(j)相对（1，j0）点的角变化量为90o,绘制G(jw)轨迹,课堂练习,P169 4-6(1),情况三：开环含有积分环节,开环含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点。,用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。,乃奎斯特稳定性判据的另一表述,常规方法：(1)作出由 0+变化时的Nyquist曲线；(2)从G(j0+)开始，以为半径逆时针补画v90的圆弧(辅助线)。,由 00+变化时的轨迹,具有零根的开环G(j)H(j)轨迹,(b),(a),以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和 G(j)H(j)轨迹的起始端。,对于最小相位系统，,其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。,(c),单位反馈系统的开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,0+：A(0+)，(0+)270,Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点半次，而m1系统闭环不稳定。,已知系统的开环传递函数如下，应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,系统开环不稳定，m=1,穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点负实轴时的情况。,正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1-段实轴。,正穿越时相当于Nyquist曲线正向包围(-1,j0)点一圈。,负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1-段实轴。,负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1,j0)点一圈。,Nyquist稳定判据穿越法,图例,半次穿越：G(j)H(j)轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴。,+1/2次穿越,-1/2次穿越,当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于m/2时(m为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。,开环不稳定闭环稳定,开环稳定闭环稳定,开环不稳定 m=1次穿越闭环稳定,Nyquist图与Bode图的对应关系,原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外L()0的部分；单位圆内部L()0的部分。,负实轴180线。,相连,(v 为开环积分环节的数目),起始点(0+),Nyquist曲线的辅助线,(0+)+v 90线,对伯德图判断系统稳定性,正穿越对应于对数相频特曲线当增大时从下向上穿越180线(相角滞后减小)；,(-1,j0)点以左实轴的穿越点L()0范围内的与180线的穿越点。,负穿越对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越180线(相角滞后增大)。,对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L()0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线()(含辅助线)与-180线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和-1,闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和+1,闭环稳定。,开环特征方程无右根，m=0正负穿越数之和0,闭环稳定。,开环特征方程无右根，m=0。L()0范围内()和-线不相交即正负穿越数之和为0,闭环稳定。,例：,课堂练习,P169 4-6(1),相对稳定性和稳定裕量,增益交界频率和相位交界频率,系统的稳定性裕量,4.4 稳定性裕量,特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。,相对稳定性和稳定裕量,注意：虚轴是系统的临界稳定边界,G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点,相位交界频率 gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点,1-稳定系统,2-不稳定系统,增益交界频率和相位交界频率,单位圆外,单位圆内,增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。,c,g,稳定系统,相位交界频率 gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点(j)与-线的交点。,单位圆外,单位圆内,c,g,不稳定系统,:在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量-相位裕量。,开环,系统的稳定性裕量,Kg:在增益交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数幅值裕量（增益裕度）。,开环,系统响应速度,增益裕量相位裕量,闭环系统稳定性,增益裕量相位裕量伺服机构：10-20分贝40度以上过程控制：3-10分贝20度以上,稳定系统,正相位裕量,正增益裕量,正增益裕量,正相位裕量,G(j)H(j)轨迹:(1)不包围(-1,j0)点；(2)先穿过单位圆，后穿 过负实轴。,正相位裕量,正相位裕量,不稳定系统,负增益裕量,负相位裕量,负增益裕量,负相位裕量,G(j)H(j)轨迹:(1)包围(-1,j0)点；(2)先穿过负实轴，后穿过 单位圆,负相位裕量,负增益裕量,单位反馈控制系统开环传递函数,稳定性裕量,课堂练习,P169 4-7 4-8,This is End of Chapter 4,