振动力学与结构动力学第二章.ppt

第二章 单自由度系统的振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动一、自由振动的解,自由振动-由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。,分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。,其通解为,由初始条件,可得,令,其中,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止,初始条件的说明：,初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能,二、单自由度系统的动力特性周期：园频率：工程频率：,与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系,A、v不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关,例:图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度，梁的质量m=5000kg，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。,思考题：刚架如何振动？,关键是求侧移劲度。,求图示系统的固有频率（a）弹簧串联情况；（b）弹簧并联情况。,(a)串联情况,思考题：串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？,(b)并联情况,思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？,例：简支梁AB，重量不计。在梁的中点位置放一重为W的物体M时，其静挠度为yst。现将物体M从高度h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。,当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。,2.算例,例一.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例二.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例三.质点重W,求体系的频率和周期.,解:,第二节 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、有阻尼自由振动的解,特征方程的根：,1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼,2、超阻尼情况,体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。,3、负阻尼情况0或c0,阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。,4、低阻尼或小阻尼情况 1或c2m,考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。,结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比在0.05左右，拱坝在0.03-0.05，重力坝包括大头坝在0.05-0.10,土坝、堆石坝在0.10-0.20之间。强震时，还会增加一些，但其值也是不大的。即使取0.02代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。,不同阻尼比对自由振动幅值的影响,二、阻尼的量测,小阻尼解答经过三角转换可写成,可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在ti时刻，yi=Ae-ti;在ti+Td时刻，yi+1=Ae-(ti+Td),定义自然对数递减率y,自由振动衰减曲线,例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M产生侧移25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5周后测得的侧移为7.12mm。试求：（1）考虑阻尼时的自振频率；（2）阻尼比和阻尼系数；（3）振动10周后的振幅。,解：由y0=25mm,y0+5TD=7.12mm,有：,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少,第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动,一、无阻尼受迫振动,1、无阻尼受迫振动方程解,运动方程的解,上式中，前三项都是频率为的自由振动。但第一、二项是初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。,2、动力系数,动力系数变化曲线,2。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。,解：（1）梁的自振频率,（2）系统的动力系数,想想看还有没有其他方法求自振频率？,（3）梁跨中截面的最大位移和弯矩,例:图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力位移。,解：按叠加原理,（1）惯性力前为何加负号？（2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？（3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化？,例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知,动位移、动内力幅值计算,计算步骤:,1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；,2.计算动力系数；,3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。,解.,例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知:,解.,重力引起的弯矩,重力引起的位移,振幅,动弯矩幅值,跨中最大弯矩,跨中最大位移,动荷载不作用于质点时的计算,令,仍是位移动力系数,是内力动力系数吗?,运动方程,稳态解,振幅,列幅值方程求内力幅值,解:,例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知,动弯矩幅值图,解:,例:求图示体系右端的质点振幅,o,二、有阻尼受迫振动1、解的形式,式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。,2、幅频曲线和相频曲线,3、系统上各个力的平衡,由已知的荷载,以及求得的位移,有，,当荷载频率远小于系统自振频率时，0,惯性力Fi(t)和阻尼力Fd(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；,想想：此时相当于什么情况?,当荷载频率远大于系统自振频率时，,荷载主要由惯性力平衡；,当荷载频率接近系统自振频率时，1,此时阻尼力,此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振区内（0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。,稳态响应中四个力的平衡,4、半功率法确定阻尼比,简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼比。,取曲线上a、b两点，令纵坐标,代入幅频曲线公式，经处理后有,例.图示为块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向 刚度为;竖向振动时的阻尼比为 机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为F=30kN.求竖向 振动时的振幅。,解：,质量为m的物体挂在弹簧系数为K的弹簧一端，另一端B沿铅直按 作简谐运动，考虑粘滞阻尼力作用，求物体运动规律。,解：取0时物体的平衡位置o为坐标原点，物体的运动微分方程为,右端等价于一个干扰力,参照标准形式，可得物体运动规律：,由上式可知，当物体较重，且弹簧常数k很小，而悬挂点A振动的频率 很高，导致很大，物体的振幅A0,物体静止。,在精密仪器与其支座之间装以弹簧系数很低的柔软弹簧，当支座振动强烈时，弹簧的一端将随同支座一起振动。若支座的频率比仪器弹簧系统的固有频率高得多，仪器将近乎静止而不致损坏。,思考题：试解释一下地震仪工作原理。,第四节 减振与隔振简述,一、减振与隔振的常用方法,1、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱,2、远离振源,3、避免共振,4、采用动力消振器,主动隔振（隔离振源）,消极隔振（隔振材料）,二、隔振的基本原理,隔振示意图,机器的受迫振动方程为,计算简图,隔振系数随变化曲线,第五节 一般荷载作用下的响应,一、杜哈姆积分和脉冲响应函数,任意一般荷载,实际上只受初速度的自由振动，以v作为初速度，初位移为零。有解答,上式称为杜哈姆积分，也可写成卷积积分：,上式称为单位脉冲响应函数，简称脉冲响应函数。如果初条件不为零，还需叠加上初始条件产生的自由振动。,例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。,解：,动力系数为 2,二、响应的数值计算,第六节 非线性系统的动力响应,一、增量型的运动方程式,二、逐步积分法,将时间划成许多微小的时段，在各个时段内加速度呈线性变化,从上面两式，可得：,三、逐步积分法计算步骤,请同学总结。,