微分方程数值解法.ppt

常微分方程数值解,1.两个最常用的数值解法:欧拉（Euler）方法 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法,主要内容,2.龙格-库塔方法的MATLAB实现,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),SI 模型,传染病模型,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,传染病模型,相平面分析方法（Phase Plane Analysis),时间t的相（像）,的轨迹称为相轨线,相平面分析是在相平面上分析相轨线随时间变化的变化情况，是一种定性分析的方法。它也是应用中非常重要的一种分析方法。,“常微分方程初值问题数值解”的提法,，而在一系列离散点,不求解析解,通常取等步长h,欧 拉 方 法,基本思路,P1,P2,P3,y,P0,x0,x1,x2,x3,x,y=y(x),y0,取不同的点,向前欧拉公式,x取左端点xn,近似：yny(xn),yn+1 y(xn+1),误差分析,局部截断误差主项为,假设到第n步公式右端yn没有误差,即yn=y(xn),从xn到xn+1一步的计算值yn+1与精确值y(xn+1)之差,称为局部截断误差.,向前欧拉公式具有1阶精度,欧拉方法,向后欧拉公式,隐式公式，迭代求解,x取右端点xn+1,右端yn+1未知,向后欧拉公式的误差,向后欧拉公式局部误差主项,向前欧拉公式局部误差主项,QB,QA,向前、向后欧拉公式的右端平均，则两个误差主项刚好抵消,向后欧拉公式具有1阶精度,梯形公式具有2阶精度,局部截断误差主项,隐式公式迭代求解,向前欧拉公式,向后欧拉公式,可表示为,欧拉公式都可以推广到解常微分方程组、高阶微分方程,将梯形公式的迭代过程简化为两步,改进的欧拉公式,预测,校正,2阶龙格库塔公式 具有2阶精度,龙格-库塔方法,基本思想,微分中值定理,即,向前欧拉公式,改进的欧拉公式,的平均值,龙格-库塔方法,4阶龙格库塔公式,4阶龙格库塔公式 具有4阶精度,龙格库塔公式也可以推广到解常微分方程组、高阶微分方程,高阶微分方程的求解,令,MATLAB中的龙格库塔方法,f 为待解方程写成的 m文件名(方程组应以x的向量形式写成),用MATLAB解常微分方程-实例1 SI,syms t y a;y=dsolve(Dy-a*y*(1-y)=0),符号计算log_sym.m,ts=0:0.5:400;x0=0.01,0;t,x=ode45(logi_fun,ts,x0);plot(t,x(:,1),r-)xlabel(time)ylabel(the rate of illness),function y=logi_fun(t,x)lambda=0.02;y=lambda*x(1)*(1-x(1),x(2);,用MATLAB解常微分方程-实例1 SI,数值方法求解 logi_fun.m,用MATLAB解常微分方程-实例2 SIR,ts=0:0.5:600;x0=0.02,0.98;%solve the initial problemt,x1=ode45(ill_fun,ts,x0);plot(x1(:,2),x1(:,1),r-)xlabel(the percentage of susceptible)ylabel(the percentage of ill people)title(graphic of modified SIR model),phase.m,课堂练习,取几个不同的初始值,