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第十章 应力状态理论基础,一 应力状态的概念及其描述二 平面应力状态分析数解法三 平面应力状态分析图解法四 三向应力状态五 广义虎克定律六 三向应力状态下的变形能,一 应力状态的概念及其描述,第十章 应力状态理论基础,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,1 问题的提出2 应力的三个重要概念3 一点应力状态的描述,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力,拉(压):,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,扭转:,讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,对于横截面上既有正应力又有剪应力的一些点如何建立强度条件?这些点强度条件的危险应力如何确定?,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,S平面,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会发生斜向裂纹?,这些问题都要通过应力状态的分析来解决.,2.应力状态的三个重要概念(1)应力的面的概念(2)应力的点的概念(3)应力状态的概念,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,轴向拉压,同一横截面上各点应力相等：,同一点在斜截面上时：,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,应 力,指明,哪一个面上哪一点？,哪一点哪个方向面？,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,应力状态分析就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,单元体,3.一点应力状态的描述,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。,课堂练习,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,S平面,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,课堂练习绘图示梁S平面上各点的应力单元体,一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,课堂练习,绘图示构件固端S截面上、下、左、右切线点处的应力单元体,S平面,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,课堂练习,课堂练习,承受内压、扭转的薄壁圆筒,试从加强肋之间取应力单元体,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,二 平面应力状态分析 数解法,第十章 应力状态理论基础,第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 数解法,1.斜截面上的应力已知受力构件中的应力单元体,求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力,公式推导使用的符号规定：,角,由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。,正 应 力,切 应 力,使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。,第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 数解法,公式推导(1)面上的应力：,第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 数解法,用 斜截面截取，此截面上的应力为,公式推导(2)面上的应力：,即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了剪应力的互等定理。,公式推导(3)面上的应力之间的关系：,第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 数解法,2.,在何处?该处,令,则:,即:,面上有,第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 数解法,在何处?,令,得:,任意(为方便)令:,可发现:正应力极值有两个方面,相差,第十章 应力状态理论基础/二 平面应力状态分析 数解法,将代入式,得,显然,在面上,3、,=?在何处？该处=？,令,面上的正应力:,即:,方位:,大小:,将 代 式,得:,4、主平面、主应力、主应力的排列主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主 平面。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的排列：,用代数值确定，排列为,、,、,三向（空间）应力状态,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,5、应力状态的分类：,平面（二向）应力状态,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,单向应力状态,纯剪应力状态,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,第十章 应力状态理论基础/一 应力状态的概念及其描述,例题,（1）斜面上的应力,解、(1)斜面上的应力,（2）主应力,主平面的方位：,哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：,主应力 的方向：,主应力 的方向：,+,+,图示应力单元体，试求斜面ab和bc上的应力。,在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。,例题,分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。,低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。,低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。,例题,分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。,铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。,例题,三 平面应力状态分析 图解法,第十章 应力状态理论基础,1、应力圆方程,(1),(2),对(1)(2)式两边平方，将两式相加，并利用,消去 和，得,(3),R,R,比照解析几何的曲线方程 是一个圆心在(a.0),半径为R的圆，,则 是个应力圆的方程,2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面 上的应力。（2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相互制约在圆周上变化。,在-坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应的点a和d,A,D,3.应力圆的画法,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力,4、几种对应关系,转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,d,a,c,（1）对基本变形的应力分析,单向拉伸,5、应力圆的应用,单向拉伸,t45o,s45o,45方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,可见：,s-45o,t-45o,B,E,纯剪切,（1）对基本变形的应力分析,5、应力圆的应用,纯剪切,5.应力圆的应用（2）平面应力状态下求任意截面上的应力,点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。,20,A,D,主平面：=0,与应力圆上和横轴交点对应的面,5、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向,主应力的确定,5、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向,主应力排序：,5、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向,s1,s2,s1,(sx,txy),主方向的确定,负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向,5、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向,对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。,tmax,5、应力圆的应用（4）面内最大剪应力,例题 试用应力圆法计算图示单元体e-f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。,A,D,用应力圆解法,f,解：,主应力单元体：,三向应力状态1.三向应力状态的概念2.三向应力状态的应力圆3.一点处的最大应力,第十章 应力状态理论基础,空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态,四 三向应力状态/1.三向应力状态的概念,至少有一个主应力及其主方向已知,三向应力状态特例的一般情形,四 三向应力状态/1.三向应力状态的概念,(1)求平行于1的方向面的应力、,其上之应力与1 无关.于是由2、3作出应力圆I,四 三向应力状态/2.三向应力状态的应力圆,I,(2)求平行于2的方向面的应力、,其上之应力与2 无关.于是由1、3作出应力圆,四 三向应力状态/2.三向应力状态的应力圆,II,I,(3)求平行于3的方向面的应力、,其上之应力与3 无关.于是由1、2作出应力圆,四 三向应力状态/2.三向应力状态的应力圆,(4)一点处任意斜截面上的应力n、n,其上之应力与1、2、3都有关.,四 三向应力状态/2.三向应力状态的应力圆,在-平面内,代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上,或位于三个应力圆所构成的区域内.,II,I,s3,III,s2,s1,四 三向应力状态/3.一点处的最大应力,一点处最大正应力与最小正应力 由1和3 所作成的最大应力圆可见:,四 三向应力状态/3.一点处的最大应力,(2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力,四 三向应力状态/3.一点处的最大应力,(2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力,四 三向应力状态/3.一点处的最大应力,(2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力,四 三向应力状态/3.一点处的最大应力,(2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,四 三向应力状态/3.一点处的最大应力,五 广义虎克定律1.横向变形与泊松比2.三向主应力状态的广义虎克定律3.三向一般应力状态的广义虎克定律4.弹性常数 E、G、之间的关系,第十章 应力状态理论基础,各向同性材料的广义胡克定律,1、横向变形与泊松比（各向同性材料）,-泊松比,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,+,+,分析：,(1),即,(2)当 时，即为二向应力状态：,(3)当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。,若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应 变关系为：,3.三向一般应力状态的广义虎克定律,4、三个弹性常数 E、G、之间的关系,边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知，=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。,例题,某点的应力状态如图所示,当x,y,z不变,x增大时,关于x值的说法正确的是_.,A.不变,B.增大,C.减小,D.无法判定,x仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。,例题,一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为=5.210-4,试求圆轴所承受的扭矩.,例题,已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变，45方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。,u,u,例题,解：,（1）K点处的应力状态分析,在K点取出单元体：,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F.,由广义胡克定律：,解得：,（3）计算外力偶m.,已知,式中,由,解得：,因此,六 三向应力状态下的变形能1.体积应变2.体积改变与形状改变3.三向应力状态下的变形比能,第十章 应力状态理论基础,变形前单元体体积,六 三向应力状态下的变形能/1.体积应变,变形后单元体的各棱边长度将分别变为,变形后单元体体积为,略去二阶以上微量,则,单位体积改变,六 三向应力状态下的变形能/1.体积应变,六 三向应力状态下的变形能/1.体积应变,利用广义虎克定律中三个主应变代入上式子;得,即体积应变与三个主应力之和有关,与主应力的大小比例无关.,六 三向应力状态下的变形能/1.体积应变,讨论:纯剪切平面应力状态的体积应变,剪应力的存在不影响体积应变.,六 三向应力状态下的变形能/1.体积应变,因此对于一般空间的应力状态单元体,六 三向应力状态下的变形能/2.体积改变与形状改变,一般来说,单元体的变形由体积改变和形状改变所组成.体积改变指形状不变而只是体积大小改变.形状改变指体积不变而只是形状的改变.,=,六 三向应力状态下的变形能/2.体积改变与形状改变,+,形状不变,只引起体积改变.,无体积改变,只引起形状改变.,(1)单向应力状态下的比能,比能,变形能,外力所做的功,六 三向应力状态下的变形能/3.三向应力状态下的变形比能,变形比能:单位体积内储存的变形能,s1,s2,s3,(2)三向应力状态下的比能,式中主应变用主应力表示,则,(3)体积改变比能与形状改变比能,:单元体因体积改变所储存的变形能称为体积改变比能;,=,+,:单元体因形状改变所储存的变形能称为形状改变比能;,体积改变比能,形状改变比能,