平面向量数量积的物理背景及几何意义.ppt

平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,那么力F所做的功W为：,情景引入,W=|F|S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,数量积的定义,（1）两向量的数量积是一个数量，,注意,思考：,ab=|a|b|cos,当0 90时 ab为正；,当90 180时 ab为负。,当=90时 ab为零。,例题讲解,变式:如图的菱形ABCD中，角A等于，AB=2,求下列各数量积.,例2 已知=(1,1),=(2,0),求。,解：,重要性质:,特别地,求模的方法,判断垂直的又一条件,求角,物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功,？,数量积的几何意义,，过点B作,则 的数量是|b|cos,（不是向量）,数量积的几何意义,回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律:,在实数中 在向量运算中交换律:ab=ba()结合律：(ab)c=a(bc)()()分配律：(a+b)c=ab+bc()消去律:ab=bc(b0)a=c(),数量积的运算律,数量积的运算律,则：(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3),典型例题,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,向量的数量积运算类似于多项式运算,解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）（a-kb）=0即a2-k2b2=0 9-16=0所以，k=,例4、,(2009海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且 A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心,夹角的范围,运算律,性 质,数量积,知识回顾:,(2),(交换律),(分配律),判断正误，并说理.,1.已知向量 和实数,1若，则 中至少有一个为,4.对任意向量 a 有,巩固练习,巩固练习,3.在ABC中a=5,b=8,C=60o,求,思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。,如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向量，即。,解：设 则，由此可得：,即，ACB=90,课后作业:P108 18(习题).,预习向量的数量积的坐标表示,