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小学经典奥数举一反三,学奥数 爱数学 长智慧 能跨越 每天多学一小时 十年奋斗当博士,目录：归一问题 归总问题 和差问题 和倍问题 差倍问题倍比问题 相遇问题 追及问题 植树问题 年龄问题行船问题 列车问题 时钟问题 盈亏问题 鸡兔同笼问题 最大公约数最小公倍数 分解质因数问题 周期问题 工程问题 正反比例应用题 综合练习,一.归一问题,【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量，这类应用题叫做归一问题。例1：买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解题思路与方法：先要求出1支铅笔多少钱，再求出16支铅笔多少钱。解（1）买1支铅笔多少钱？0.650.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元）列成综合算式0.65160.12161.92（元）答：需要1.92元。,练习1：3台拖拉机耕地600平方米，照这样计算，5台拖拉机能耕地多少平方米？一辆卡车5次运煤22.5吨，照这样计算，再增加2次能运多少吨煤？制鞋厂30个人一个月生产皮鞋2250双，照这样计算，现在要生产7950双皮鞋，需要多少人？例2.3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？903310（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？1056300（公顷）列成综合算式9033561030300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。练习2.5台磨面机6小时磨面粉42吨，10台磨面机磨面粉98吨，需要几小时？2.一辆卡车5次运煤22.5吨，5辆同样的卡车6次可以运煤多少吨？3.一个钢铁厂，一号炉前3天每天产钢354.5吨，后5天共生产钢18005吨，平均每天生产钢多少吨？,例3.5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100545（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5735（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105353（次）列成综合算式105（100547）3（次）答：需要运3次。练习31.修一条公路，全长15千米，开工4天修1.6千米。照这样计算，修完这条公路要多少天？2.一个编织组，原来30人10天生产1500顶草帽，现在增加到120人，按照原来的工效，要生产9000顶草帽需要多少天？3.修一条公路，原计划每天修120米，30天可以修完，如果要提前5天修完，每天要修多少米？,二.归总问题,【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？,解（1）这批布总共有多少米？3.27912531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.22.8904（套）列成综合算式3.27912.8904（套）答：现在可以做904套。练习1.搬运一堆红砖，小冬一次搬5块，要16次才能搬完，如果小冬每次多搬3块，几次就可搬完？2.小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？3.食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？,例2.3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？903310（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？1056300（公顷）列成综合算式9033561030300（公顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。练习2.1.面粉厂用汽车装运一批面粉，原计划用每辆装24袋的汽车9辆15次可以运完，现在改用每辆装30袋的汽车6辆来运，几次可以运完？2.修一条公路，原计划每天工作7.5小时，8个人6天可以修完，实际增加了2个工人，准备4天完成，这样每天要工作几小时？3.用5台拖拉机6小时耕地75亩。现在要耕地200亩，且要求8小时耕完，需要同样的拖拉机多少台？,例3.修一条公路，原计划每天工作7.5小时，8个人6天可以修完，实际增加了2个工人，准备4天完成，这样每天要工作几小时？分析：要求每天工作几小时，先要求出这条公路的总工作量，即由1个工人来做共需要多少小时，7.5 8 6=360再求如果1人每天工作多少小时360 4=90再求最后问题。90（8+2）=9小时 答：每天要工作9小时.练习3.1.一项工程，预计30人15天可以完成任务。工作4天后，又增加3人。如果每人工作效率相同，这样可以提前几天完成任务？2.一项工程原计划8个人每天工作6小时，10天可以完成。现在为了加快工作进度，增加2人，每天工作时间增加2小时，这样可以提前几天完成这项工程？3.一个工地上有120名工人，食堂为这些工人准备了30天的粮食。实际工作5天后，由于工期紧张，又调来30名工人，食堂原来准备的粮食只够吃几天？,三.和差问题,【特点】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解如果甲班减少6人，就和乙班人数相等；或者乙班增加6人，就和甲班人数相等。乙班人数（986）246（人）甲班人数98 46=52,或（986）252（人）答：甲班有52人，乙班有46人。解题关键：小数=（和差）2，大数=（和+差）2,练习11.甲乙两个工程队合挖一条长48千米的水渠，甲队比乙队多挖了6千米，求甲、乙工程队各挖了多少千米？2.有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。3.甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？,例2.长方形的周长是36厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解先要求出长和宽各是多少因为长和宽的和是362=18厘米所以长（18+2)2=10厘米宽=18-10=8厘米面积=10880（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。,练习21.甲、乙两个仓库共运进货物1260吨，如果从甲仓库调出120吨货物到乙仓库，则两个仓库的货物一样多，求甲乙两仓库原来运进货物各多少吨？2.电视机厂一、二、三车间共有工人360人，第一车间比第二车间多12人，第三车间比第二车间少18人，三个车间各有工人多少人？3.养兔场共养兔8800只，有白兔、黑兔和灰兔三品种，白兔比黑兔多600只，黑兔比灰兔少400只，求白兔、黑兔、灰兔各有多少只？,四.和倍问题,【特点】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解把杏树棵树看作1份，总棵树就是3+1份（1）杏树有多少棵？248（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？623186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。解题关键：1倍数=和（1+倍数）,练习11.某校四年级和六年级的同学参加植树活动，两个年级共栽树苗141棵。已知六年级同学栽的树苗是四年级同学载树苗棵数的2倍，四年级栽树苗多少棵？2.大小两辆卡车8次共运货物64吨，大卡车一次运货的吨数是小卡车一次运货吨数的3倍，大小卡车每次各运货多少吨？3.甲、乙两箱苹果共重84千克，从甲箱取出15千克的苹果放入乙箱，乙箱的重量就是甲箱的3倍，两箱原来各有苹果多少千克？,例2甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？解分析：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（5232）就相当于（21）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为（5232）（21）28（辆）所求天数为（5228）（2824）6（天）答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。,练习21.学校中四、五年级的学生为“希望工程”共捐款241元，从五年级捐款的总数中取出25元后，就是四年级捐款数的2倍，五年级比四年级的学生多捐款多少元？2.甲、乙两个仓库共存货物238吨，如果从乙库中运出84吨放入甲库，则甲库存货比乙库的存货吨数多5倍。原来甲、乙两个仓库的货物吨数各是多少？3.果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？,例3.甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？,解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；这时（17046）就相当于（123）倍。那么，甲数（17046）（123）28 乙数282452 丙数283690 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。,练习31.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？2.图书馆共有故事书、科技书和连环画三种图书1252本，其中科技书是故事书的3倍，连环画的本数比科技书的2倍多40本。三种书各有多少本？3.549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？,五.差倍问题,【特点】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解桃树的棵数是杏树的3倍，也就是桃树比杏树多（3-1）倍（1）杏树有多少棵？124（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？623186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。解题关键：1倍数=差（倍数1）,练习11、服装厂的女工比男工多78人，女工人数是男工人数的3倍，求有男工、女工各多少人？2.甲仓库比乙仓库多存粮240千克，甲仓库存粮是乙仓库存粮的4倍，两仓库各存粮多少千克？3.有两层书架，第二层的书是第一层的4倍，如果从第二层取236本放第一层，两就一样多.那么两层书架各有多少本书？,例2.粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相当于（31）倍，因此剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨）运出的小麦数量942272（吨）运粮的天数7298（天）答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。练习2.甲桶酒是乙桶的5倍，如从甲桶中取出20千克倒入乙桶，那么两桶酒重量相等。两桶酒原来各有多少千克？2.仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克，问仓库有大米和面粉各多少千克？3.果园里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵树比桃树的3倍多100棵。苹果树和桃树各种了多少棵？,六.倍比问题,【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题.例1.100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解（1）3700千克是100千克的多少倍？370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？40371480（千克）列成综合算式40（3700100）1480（千克）答：可以榨油1480千克。这类题目与归一问题类似，往往在用归一法难解时用倍比法,练习11.今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？2.凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县共收入277775元，全县共多少亩果园？3.某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？,例2.8个工人3小时制作机器零件360个，如果人数缩小了2倍，时间增加了5小时，可制作机器零件多少个？解：此题中人数缩小了2倍指现在的人数是82=4（人）；时间增加了5小时指现在的时间是35=8（小时）。故：可制作 36O83（82）（3+5）=1548=480（个）答：可制作机器零件480个。练习2.12人25天挖了一个长60米、宽2米、高2.8米的防空洞，照这样的速度计算，30人用20天挖防空洞可以挖土多少立方米？2.某工地的一项工程，原计划由30人工作，每天工作8小时，45天完工。为了提前完工，实际由54人工作，每天工作10小时，可以提前几天完工？3.某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，7台同样车床8小时可以多生产多少个零件？,七.相遇问题,例1南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？解 两船1小时共行（28+21）小时 392（2821）8（小时）答：经过8小时两船相遇。解题关键：相遇时间=总路程速度和 速度和=总路程相遇时间 总路程=相遇时间速度和,练习1.1、两辆汽车从A、B两地同时出发、相向而行，甲每小行50千米，乙每小行60千米，经过3.5小时相遇。A、B两地相距多少千米？2、客车和货车同时从两城出发，相向而行，客车每小时行45千米，比货车每小时多行3千米，经过4小时两车相遇。两城相距多少千米？3、客轮、货轮从武汉和上海两地同时出发，相对开出，货轮每小时行40千米，客轮的速度是货轮的1.2倍，两地相距862.4千米。请问几小时两船可以相遇？,例2甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。,解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇时间（32）（1513）3（小时）两地距离（1513）384（千米）答：两地距离是84千米。,练习2、1、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？2、甲、乙二人同时从A地B地，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，甲到B后立即返回，在距B地80米处与乙相遇。甲、乙两地的路程是多少米？3、甲乙二人从相距200千米的A、B两地同时出发，相向而行，10小时后相遇，已知甲每小时比乙快2千米，求两人的速度.,八.追及问题,例1、小明从甲地到乙地，每分钟走70米，8分钟后小武骑自行车以每分钟150米的速度从甲地出发追小明。多少分钟才能追上小明？解小明8分钟行70X8米 小武每分钟比小明多行(150-70）米 追上小明时间70X8(150-70）=7（分钟）答：7分钟追上小明.解题关键：追击时间=路程差速度差,练习1.1、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？2、甲乙二人分别从相距48千米的两地同时向西而行，甲车每小时行36千米，乙每小时行20千米，几小时后甲追上乙?3、甲乙两人分别从A村和B村同时向东而行，甲骑车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米，2小时后甲追上乙，求A、B两村的距离?,例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用40（500200）秒，所以小亮的速度是（500200）40（500200）3001003（米）答：小亮的速度是每秒3米。这道题的解题关键是求出追击时间,练习2.1.我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？2.兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？3.孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。,九.植树问题,例1一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解由于头尾都栽，所以棵数等于段数加11362168169（棵）答：一共要栽69棵垂柳。练习1.1、一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？2、两座楼房之间距离50米，要在之间每2.5米栽果树，一共可栽多少棵？3、一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？,例2、一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？50050111（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11222（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏）答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。练习21、爷爷带着豆豆在人行道上散步，从第1盏路灯到第12盏路灯处共用了12分钟，当他们走了40分钟时，走到了第（）盏路灯旁。2、在150米的田埂上植树，两端各植一棵，每隔6米中一棵柳树，两棵柳树之间又种3棵槐树，那么，柳树植（）棵槐树植（）棵。3、护士为病人每5小时量一次体温，做第12次测量时，时钟时针指向9.那么做第一次时，时针指向（）。,十.年龄问题,特点：两个人的年龄差不变例1.爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。,例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37730（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30（41）73（年）列成综合算式（377）（41）73（年）答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。练习21、3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？2、小强今年13岁，小军今年9岁，当两个人的年龄和是40岁时，两个人各多少岁？3、甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在各是多少岁？,十一.行船问题,这类问题的特点是船速水速，船顺水和逆水速度是不一样的。其中顺水速度=船速+水速、逆水速度=船速-水速例1.一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时32081525（千米）船的逆水速为251510（千米）船逆水行这段路程的时间为3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。这类问题的数量关系是：船速（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速2,练习11、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？2.一只船每小时行14千米，水流速度为每小时6千米，问这只船逆水航行112千米，需要几小时？3.一只船顺水每小时航行12千米，逆水每小时航行8千米，问这只船在静水中的速度和水流速度各是多少？,例2.甲、乙两港相距192千米，一艘轮船从甲港顺流而下行16小时到达乙港，已知船在静水中的速度是水流速度的5倍，求水流速度和船速。解 由已知条件可知顺水速度是每小时 192 16=12（千米）因为顺水速度=船速+水速 而船速是水速的5倍所以水速=12（1+5）=2 船速=2 5=10 答：水流速度是每小时2千米；船速是每小时10千米。练习2.1.甲、乙两码头相距72千米，一艘轮船顺水行需要6小时，逆水行需要9小时，求船在静水中的速度和水流速度。2.静水中，甲船速度是每小时22千米，乙船速度是每小时18千米，乙船先从某港开出顺水航行，2小时后，甲船同地同方向开出，若水流速度为每小时4千米，求甲船几小时可以追上乙船？3.一艘轮船在静水中的速度是每小时15千米，它逆水航行88千米用了11小时。问：这艘船返回原地需要用几小时？,十二.列车问题,例1.一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用了3分钟，这列火车长多少米？解:火车3分钟共行的路程就是桥长与火车车身长度之和，所以车身长度900 3-2400=300（米）答：火车车身长300米,练习1.1.一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用2分5秒的时间，求大桥的长度是多少米？2.一列火车以同一速度驶过两座大桥，第一座桥长300米，用了20秒；第二座桥长450米，用了25秒。这列火车长多少米？3.一列火车通过一座1000米的大桥要65秒，如果用同样的速度通过一座730米的隧道要50秒，求这列火车前进的速度和火车的长度？,例2.一列长225米的慢车以每秒17米速度行驶，后面一辆长140米的快车以每秒22米速度开来，求快车从追上到通过慢车需要多长时间?解：从追上到追过快车比慢车要多行（225+140）米，而快车比慢车每秒多行（22-17）所以要求的时间为（225+140）（22-17）=73（秒）答：需要73秒。,练习2.1.一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么从工人身旁驶过需要多长时间？2.在一段两轨铁路上，两列火车相向驶过，若A火车全长180米，B列火车全长160米，两列火车的错车时间为4秒，已知A列车的速度比B列车每秒快5米，则A、B两车的速度分别是多少？3.长180米的客车速度是每秒15米，他追上并超过长100米的货车用了28秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多长时间？,十三.时钟问题,时钟问题是钟面上时针和分针关系的问题，钟面一周60格，当分针走60格时，时针正好走5格例.现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？分析 3点时，分针指向12，时针指向3.要使分针与时针重合，即使分针比时针多走15格，需要15（60-5）=3/11（小时）即16又4/11分钟解：15（60-5）=3/11（小时）=16又4/11分钟。答：3点16分多时针与分针第一次重合。,练习.1、4点和5点之间，时针与分针时候成直角？2、6点与7点之间什么时候与分针重合？3、在9点与10之间的什么时刻时针与分针成一条直线？,十四.盈亏问题,例.给幼儿园分苹果，若每人分3就余11个；若每人分4个就少1个，问有多少小朋友？有多少个苹果？解 每人多分一个，就多分11+1个所以是12个人即人数=（11+1）（4-3）=12（人）苹果数=12 3+11或12 4-1=47（个）答：有12个小朋友，47个苹果。解这类问题的关键是抓住盈和亏及两次的分配差,练习.1、修一条公路，如果每天个260米，修完全程就得延长8天；如果每天修300米，修完全程还得延长4天，这条路全长多少米？2、学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人，如果每辆车坐45人，就刚好坐完。有几辆车?问有多少人？3、雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬18块，还剩2块;如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。共有多少块砖?,十五.鸡兔同笼问题,例1.长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在笼里，数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解：假设35只都是兔子，则由于每只兔子比鸡多算4-2只脚，所以鸡数=（35 4-94）（4-2）=23（只）兔子只数=35-23=12（只）也可以先假设35只全是鸡，则兔子只数=（94-35 2）（4-2）=12(只）鸡数=35-12=23（只）【新解法：不管鸡兔都去掉两条腿，那么就剩兔子两条腿了，兔子只数就是（94-35 2）2=12（只）】答：兔子有12只，鸡有23只。解题关键：用假设法找出其差,练习11、老师用69元，给学校买作业本和日记本，作业每本3.2元，日记本每本0.7元，问作业本和日记本各买了多少本？2、2亩菠菜施肥1千克，5亩白菜施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜多少亩？3、某学校学生要栽树256棵，要求学生共50名，男生每人栽8棵，女生每人栽4棵，应派多少男生多少女生？,例2.鸡兔共有100只，鸡的脚数比兔的脚数多80只，问鸡和兔子各多少只？,解法1：由于鸡比兔脚数多80，则多的部分全是鸡，剩下的鸡和兔脚数相等，但每只兔脚数是鸡的2倍，所以兔子只数是(100-802)(1+2)=20(只)解法2：设有X只兔，则有（100-X）只鸡则列方程(100-X)2=4X+80解之得，X=20，所以鸡是100-20=80只解法3：设有鸡X只，则有（100-X）只兔列方程 2X-80=4（100-X）解之得X=80 所以兔的只数是100-80=20只 答：鸡有80只，兔子20只。,练习2.1、有100个馍分给100个和尚吃，大和尚一人吃3个，小和尚3人吃1个，问大小和尚各多少人？2、三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，求捐2元和5元的同学各有多少人？3、一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？,十六.最大公约数最小公倍数,例1.一个长方形的长是80厘米，宽是60厘米，要把它分成最大的正方形，正方形的边长是多少？解：要分成最大的正方形其边长就是80和60的最大公约数，因为最大公约数是20.所以所求边长是20厘米。,练习11、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？2、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？3、有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。求这个两位数是 多少？,例2.公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？,分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。解答：5、10、630答：最少过30分钟再同时发车。,练习21、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？2、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？3、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？,例3.两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数各是多少?分析 我们在求最大公约数最小公倍数时知道，两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积正好等于这两个数的积.设所求的两个数是a,b 由短除法 a1b1=9015=6=2 3=1 6 当a1，b1分别为2和3时，a,b分别为15 2=30，15 3=45；当a1，b1分别为1和6时，a,b分别为15和90.,练习31、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？2、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60求这两个数的和是多少？3、两个自然数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144，求这两个数各是多少？,十七.分解质因数问题,例1.王老师带五年级学生去植树，老师和学生植树每人植树同样多，他们一共植树539棵.这个班有多少学生？每人植树多少棵?解:根据每人植树棵数人数=总棵数把539分解质因数，539=7 7 11，得到总人数是7 7=49或7 11=77，这个班是49-1=48或77-1=76人 答：这个班有48人，每人植树11棵；或者76人每人植树7棵。,练习11、3月12日是植树节，李老师带同学排成两路人数相等的纵队去植树，已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵，求有多少个同学?2、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青的电影票是几排几座？3、把一篮苹果分给四人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920，这篮苹果共有多少个？,例2.将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等.2，5，14，24，27，55，56，99解：由于两组数的乘积相等，所含质因数的个数应相等.14=27，24=2 2 2 3，27=3 3 3，55=5 11，56=2 2 2 7，90=3 3 11，可以看出这八个数中共有8个2，6个3，2个5，2个7和2个11.所以每数中应该有4个2，3个3，1个5，1个7和1个11，再挑选可将其分为（5，99，24，14）和（55，27，56，2)两组.,练习21、把40，44，45，63，65，78，99，106这八个数平均分成两组，使两组中四个数的乘积相等。2、把39，45，49，56，60，70，78，84，91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。3、有三个自然数a,b,c.已知a b=35,b c=63,a c=45,求a b c=?,十八.周期问题,例1.今天是星期三，再过40天是星期几？解：一个星期共7天，407=55因为今天星期三，再过5天是星期一，所以再过40天是星期一。解答这种问题的关键是找出周期和余数，然后根据题目特点求出答案。,练习1.1、5月1号星期四，10月1号星期几？2、17，小数点后面第100个数字是多少？3、现在是早晨8点，再过145小时是几点？,例2.有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？解：周期是5+9+13 249（5913）9（组）6（朵）这六朵花包括5朵红花和1朵黄花。最后一朵是黄花红花：59550（朵）黄花：99182（朵）绿花：139117（朵）,练习21、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏灯是什么颜色？三种颜色的灯各有多少盏？2、在100米的跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两女生，再一男生的规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？3、有一盒彩色乒乓球，按三红，二绿的顺序取出，取14次以后，绿色的取光了，还剩6个红色的。这一盒乒乓球一共有多少个？,十九.工程问题,特点:工程问题，一般不告诉具体的工作总量，也不告诉具体的工作效率。解题的关键是根据分数的意义，把工作总量看作1，用完成工作总量所需时间的倒数表示工作效率。例1.一项工程,甲队独做要10个月完成,乙队独做要15个月完成,两队合做几个月完成？解：甲每月完成全部工程的1/10，乙每月完成全部工程的1/15，合作每月完成（1/10+1/15）需要1（1/10+1/15）=6（个月）答：两队合作6个月完成。,练习11、一项工程，甲对单独做20天完成，乙单独做15天完成，现在由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后用20天，问甲做几天？2、某项工程由甲乙两队完成，甲单独完成需24天，乙单独完成需16天，先由甲对单独做5天，然后两队合作，问再做多少天可以完成全工程的八分之五？3、一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成，开始三队合作，中途甲队另有任务，由乙丙两对完成，从开始到工程完成共用了6小时，问甲队实际做了几小时？,例2.一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接着做1小时，再由甲接着做1小时，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？解：每人做1小时，共做1/12+1/18=5/361 5/36=7又1/5，这就是说每人做7小时，还剩1/36（1-5/367=1/36）再由甲做1/3小时即完成。答：共用14小时零20分钟。,练习2.1、一件工作甲、乙两队合做30天可以完成，共同做了6天后，甲有事离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲乙单独完成，各需要多少天？2、甲、乙两人共同做一批需要10小时完成，在共同工作4小时后，甲因故离开，由乙单独18小时完成了全部任务。如果甲、乙单独做这件工作各需要多少小时？3、生产一批零件，甲单独做10完成，乙单独做8天完成。甲先做了若干天后，剩下的甲、乙合做两天完成全部任务，甲先做了几天？,二十.正反比例应用题,【特点】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量。解决这类问题的关键是找出并判断应用题中两种量的关系。,例1.张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，他91分钟可以做几道应用题？解：这道题中有做题数量的时间两种关系，单位时间做题数量不变（一定），所以做题数量与时间成正比例关系设91分钟可以做题X道题，则有28：4=91：X28X=91 4 X=91 4 28 X=13答：他91分钟可以做13道题。很显然，这类问题就是我们开始讲的归一问题，只是解法不同。,练习1.1、甲乙两地相距22.5千米，如果3小时走13.5千米，照这样的速度，走完这段路还要多少小时？2、.用一台织布机织布，4小时织布22.4米，照这样计算，再织3小时，一共可以织布多少米？3、修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长多少米？,例2.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，4小时到达。如果要3小时到达，每小时需行驶多少千米？解：题中速度和时间是两种相关联的量，路程是一定的量（就是说甲乙两地的路程是一定的），因为速度时间=路程（一定），所以速度和时间是成反比例的量，它们之间的关系是反比例关系。设 每小时需行驶X千米，则有 60 4=3X X=60 4 3 X=80千米 答：每小时需行驶80千米。这类问题就是我们开始讲的归总问题,练习21、同学们做操，每行站30人，正好站12行，如果每行站36人，可以站多少行？2、甲种铅笔每支0.25元，乙种铅笔每支0.20元，买甲种铅笔32支的钱，可以买乙种铅笔多少支？3、一艘货轮每小时航行20千米，6小时可以到达目的地。如果要5小时到达，每小时应该快多少千米？,例3.一间房子要用瓷砖铺地，用边长3分米的正方形瓷砖需要3200块，用边长4分米的瓷砖需要多少块？解：铺地面积不变（一定），每块瓷砖的面积与需要的瓷砖数乘积正好是铺地面积，所以每块瓷砖的面积与瓷砖数成反比例.设需要瓷