小学四年级奥数教程-第十二讲.ppt

小学四年级奥数教程,第十二讲 相遇问题,在小学数学的解决问题部分，行程问题是其中的一大主要学习内容，而且在各种数学竞赛中都离不开这类问题。它内容丰富，形式多样，变化多端，贴近生活，同学们学起来饶有兴趣，是数学学习中的一大快餐。行程问题所涉及的基本数量关系式是：速度时间=路程，路程时间=速度，路程速度=时间 相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型。这一讲我们先来学习相遇问题。相遇问题有两种情况：相向相遇和反向相离。一般情况，相向相遇的形式多一些，作为主要学习内容。它的特点是：两个运动着的物体从两地出发，相向运动，越行越接近，到一定时候二者可以相遇，两个运动物体同时起行，相遇时所用时间相同。,例1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走40米，小冬每分钟走50米。问：,他们经过多长时是相遇？5分钟时，他们还相距多少米？15分钟时他们相距多少米,分析：如图，小秋和小冬家相距810米，称为总路程。小秋每分走40米，小冬每分走50米，可知小秋和小冬同时走1分钟共行路程是40+50=90（米），我们把它称为速度和。810米里有几个90米就是走了几分钟。,解：810（40+50）=810 90=9（分）,这个时间既是小秋到相遇处时用的时间，也是小冬到相遇处时用的时间，我们称它为相遇时间。,例1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走40米，小冬每分钟走50米。问：,他们经过多长时是相遇？5分钟时，他们还相距多少米？15分钟时他们相距多少米,分析：根据题意，小秋和小冬每分钟共行40+50=90（米），5分钟可以行905=450（米），用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程，也就是他们还相距多少米。,解：810-（40+50）5=81090 5=810-450=360（米）,例1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走40米，小冬每分钟走50米。问：,他们经过多长时是相遇？5分钟时，他们还相距多少米？15分钟时他们相距多少米,分析：根据题意，15分钟时他们相距多少米，就是他们相向走了9分钟相遇，这时他们相距为0，然后相背（反向）而行，又走了15-9=6（分），这时两人反向相离的路程。,解：（40+50）（15-9）=906=540（米）,根据以上例子，我们可以总结出相遇问题中数量之间的基本关系式是：速度和相遇时间=总路程 总路程速度和=相遇时间 总路程相遇时间=速度和 总路程相遇时间-一个速度=另一个速度 解相遇问题时，我们必须熟练掌握有关的数量关系式，此外，应借助于线段图来直观地分析和理解题意，以突破题意的难点。,例2：甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟行200米，乙每分钟行220米，15分钟后两人相遇，求A、B两地的距离。,分析：此题根据数量关系就能直接求出，求A、B两地的距离就用速度和相遇时间=总路程。,解：（200+220）15=420 15=6300（米）,例3：一辆客车和一辆货车同时从630千米的两地相向而行，客车的速度是每小时50千米，货车的速度是每小时55千米，问几小时后两车相距105千米？,分析：两车在相距630千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距105千米，这时两车共行的路程是630-105=525（千米），然后根据总路程速度和=相遇时间，便可求出所用的时间。另外，还有一种情况，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离会从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距105千米。这时两车共行的路程为630+105=735（千米），同样，利用总路程速度和=相遇时间，便可求出所用的时间。,解：第一种，两车相遇前的情况。（630-105）（50+55）=525 105=5（小时）第二种，两车相遇后的情况。（630+105）（50+55）=735 105=7（小时）,例4：慢车从甲地开往乙地，开出1小时后，离甲地40千米，这时，快车从乙地开往甲地，快车开出3小时后两车相遇。已知甲、乙两地相距340千米，求快车的速度。,分析：如图，慢车开出1小时后，离甲地40千米，说明慢车的速度为每小时40千米。也说明慢车比快车先出发1小时，行了40千米后，快车才出发。那么快车用了3小时与慢车相遇，这个3小时是两车共同用的时间。共同行的路程为340-40=300（千米），然后用共同路程相遇时间-一个速度=另一个速度，从而求出快车的速度。,解法一：（340-40）3-40=3003-40=100-40=60（千米）解法二：340-40（3+1）3=340-40 4 3=340-160 3=180 3=60（千米）,例5：甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行41千米，乙车每小时行45千米，甲车先出发2小时后，乙车才出发。乙车行几小时后与甲车相遇？,分析：如图，甲车先出发2小时，所行的路程是412=82（千米），这时乙车才出发，那么甲、乙同时相向而行的路程是770-82=688（千米），然后用共同路程速度和=相遇时间，便可求出快车的时间。,解：（770-41 2）（41+45）=（770-82）86=688 86=8（小时）,例6：甲、乙两城之间的公路长840千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，每一辆汽车每小时行28千米，第二辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车到达乙城后立即返回，两辆汽车从开出到相遇共用了几小时？,分析一：从图可知，两辆车开始时是同向行走，第二辆车开得快，当第二辆车从甲到乙后，所用的时间是84042=20（小时），当第二辆车从乙城返回时，与第一辆车的运动方向变成了同时相对而行，只要求出第二辆车返回时与第一辆车相遇用的时间，然后与20相加，便可得出所求问题。,解：第二辆车到达乙城所用的时间：84042=20（小时）第一辆车用20小时所行的路程是：2820=560（千米）第一辆车和第二辆车相对而行的路程是：840-560=280（千米）第一辆车和第二辆车相对而行的时间是280（42+28）=4（小时）从出发点到相遇时用的时间是：20+4=24（小时）,例6：甲、乙两城之间的公路长840千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，每一辆汽车每小时行28千米，第二辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车到达乙城后立即返回，两辆汽车从开出到相遇共用了几小时？,分析二：我们用转化的思想，让第二辆车由与第一辆车同向而行变成从另一城丙出发，与第一辆车相向而行，那么两车从开出到相遇所行的路程，正好是两城间公路长的2倍，因此，两车从开出到相遇所用的时间相当于两车从相距8402=1680（千米）的两地同时出发，相向而行，直到相遇所用的时间。如图,解：第一辆车和第二辆车共行的路程是：8402=1680（千米）两辆车从出发到相遇所用的时间：1680（42+28）=168070=24（小时）,例7：小陈和小王两人同时分别从两地骑车相向而行。小陈每分钟行320米，小王每分钟行310米，两人相遇距全程中点50米。求全程长多少米？,分析：从图上可以看出，两人相遇的地点距离中点50米，也就是小陈走了全程的一半后又走了50米，小王走了全程的一半减50米的地方，小陈比小王多走了50+50=100（米）。已知小陈每分钟行320米，小王每分钟行310米，小陈每分钟比小王多行320-310=10（米）。多少分钟小陈比小王多行100米？用10010=10（分），这就是相遇 的时间，再速度和相遇时间=总路程。,解：相遇时小陈比小王多行的路程是：50+50=100（米）相遇时间：100（320-310）=10（分钟）全程：（320+310）10=6300（米）,例8：甲、乙两个工程队合修一条长2900米长的水渠，甲队每天修80米，乙队每天修65米，两队人各从一端同时相向施工，相遇时，甲队超过中点多少米？,分析一：这道题与例7的运动方向是相同的，只是把条件和问题换了换。可以用以下思路来解决问题。要求甲队超过中点多少米，只要求出甲队修的米数，再减去小渠的一半便可得出。要求甲队修的米数，必须知道甲队的速度和甲队用的时间，速度已知是每天修80米，时间就是两队相遇的时间，用总路程除以速度和便可以求出。,解：相遇时间：2900（80+65）=2900145=20（天）甲队修的米数：80 20=1600（米）甲队超过中点的米数：1600-29002=1600-1450=150（米）,例8：甲、乙两个工程队合修一条长2900米长的水渠，甲队每天修80米，乙队每天修65米，两队人各从一端同时相向施工，相遇时，甲队超过中点多少米？,分析二：甲队超过中点的米数，也是乙队距中点的米数。用甲队修的米数减去乙队修的米数再除以2，就求出甲队超过中点的米数。所以用第一种思路先求出相遇时间，再分别求出甲队和乙队修的米数。,解：相遇时间：2900（80+65）=2900145=20（天）甲队修的米数：80 20=1600（米）乙队修的米数：65 20=1300（米）甲队超过中点的米数：（1600-1300）2=3002=150（米）,例9：甲、乙两车站相距8250米，A公交车速度为每分钟280米，B公交车速度为每分钟270米，A、B两车分别从甲、乙两站相向开出，两车到站后都要停留5分钟，然后返回，它们第一次相遇后要经过多少时间第二次相遇？,分析：从图中可以看出，A、B两车从出发到第一次相遇经过的总路程是甲、乙两站的长8250米。A、B两车从出发到第二次相遇经过的总路程是甲、乙两站8250米的3倍，也就是第一次相遇到第二次相遇时，两车经过的总路程是8250米的2倍。又已知两车的速度，可求得两车行这两个全程共用的时间，最后加上停站时间，就求出了最后结果。,解：从第一次相遇到第二次相遇经过的总路程：85002=16500（米）从第一次相遇到第二次相遇所用的时间：16500（280+270）=30（分钟）30+5=35（分钟）,例10：小春、小夏两人同时从A、B两地出发相向而行，两人在离A地50米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续前行，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距B地25米处第二次相遇。问A、B两地相距多少米？,分析：从图上看，小春和小夏运行的情况与例9题两辆汽车运行的情况相似，只是小春、小夏到对方出发点时没有停，返回即走，那么我们可以用例9思路来想：小春、小夏第一次相遇时，合行的路程是A、B之间的距离，此时，小春行了50米。从图中可以看出，他们到第二次相遇时共行了A、B之间的距离的3倍，也就是小春和小夏各行了从出发到第一次相遇时自己所行路程的3倍，即小春共行了3个50米。用小春共行的路减去他返回时又行的25米，就得到A、B两地间的距离。,解：503-25=150-25=125（米）,例11：甲、乙、丙3人做走路游戏。甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米。甲、乙两人从A地、丙从B地，3人同时相向出发，丙先遇见乙，再经过2分钟遇到甲、问A、B两地相距多远？,分析：从图上看出，乙、丙相遇时，甲、乙相差的路程正好是丙再行2分钟与甲相遇时，甲、丙2分钟共走的路程。这个路程可以求出：（40+60）2=200（米）。即乙比甲多行了200米。而乙每分钟比甲每分钟快50-40=10（米），那么200米里有几个10米就是在几分钟内行出来的，用20010=20（分），这个时间是乙与丙相遇时，甲、乙、丙各用的时间，也可以看成是乙、丙相遇的时间，用乙、丙速度和相遇时间=总路程，便可求出A、B两地相距多远。,解：乙、丙相遇时，甲、乙的路程差：（40+60）2=200（米）乙、丙的相遇时间：200（50-40）=20（分）A、B两地的距离：（50+60）20=2200（米）,例12：丁丁和带着小狗的冬冬同时分别从相距1400米的两地相向而行，丁丁每分钟行65米，冬冬每分钟行75米，小狗每分钟跑200米。冬冬的小狗遇到丁丁后立即返回向冬冬这边跑，遇到冬冬后再向丁丁这边跑当丁丁和冬冬相遇时，小狗一共跑了 多少米？,A地,B地,返回,分析：按照常规，要求狗一共走了多少米？就得把狗与甲相遇走的路程，与乙相遇走的路程，再与甲相遇走的路程都求出，然后再相加，算出结果。但是，仔细想来，狗在甲、乙之间要跑多少个来回，每次来回所用的时间是多少，这些量我们都无法求出。,解：甲、乙两人相遇所用的时间是：1400（80+60）=10（分）狗共跑的路程是：180 10=1800（米）,再转换一下思路想：抓住题中不变的量或不变的关系来分析。不论狗在甲、乙两人之间跑了多少个来回，狗所走的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间，这是不变的关系，所以，只要求出狗跑的时间，也就是求出甲、乙两人相遇所用的时间，就可以求出狗所跑的路程。这样原问题就转化为求甲、乙两人相遇时间的问题。已知两地间的距离是1400米，甲的速度是每分钟80米，乙的速度是每分钟60米，用总路程速度和，便可求出相遇时间。,