定积分第三节定积分的换元法和分部积分法.ppt

第三节,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,定积分的换元法和分部积分法,一、定积分的换元法二、分部积分法三、小结,第三节,一、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,1)当,即区间换为,定理 1 仍成立.,2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,.解 换元：，；换限：，,3.例题,例1 计算,所以没有换限.,例2 计算.,解法1.,原式.,解法2.,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,例4 计算,解,原式,例5.计算,解:令,则,原式=,且,例6.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,奇函数,例7 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证明,例8 若f(x)在0,1上连续,证明,(2)令xpt.因为,例8 若f(x)在0,1上连续,证明,证明,例9 计算.,解 积分区间为，被积函数为 型，利用定积分公式得,例11 设 求,解,2解,推导,二、分部积分公式,例1 计算,解,令,则,解,例2 计算.,例3 计算.,解,例4 计算,解,例5 设，求.,解,例6 证明定积分公式,为正偶数,为大于1的正奇数,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,三、小结,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,思考题1,解,令,思考题1解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,思考题2,思考题2解答,练 习 题 1,练习题1答案,练 习 题 2,练习题2答案,