大学文科数学极限.ppt

,主要内容,典型例题,习 题 课,第二章 极 限,（一）极限的概念,（二）连续的概念,一、主要内容,左右极限,两个重要极限,求极限的常用方法,无穷小的性质,极限存在的充要条件,判定极限存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小及其性质,唯一性,两者的关系,无穷大,1.极限的定义,左极限,右极限,另两种情形:,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大:,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,无穷小与无穷大的关系,2.无穷小与无穷大,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,3.极限的性质,4.求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.,5.判定极限存在的准则,(夹逼准则),(1),(2),6.两个重要极限,定义:,7.无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8.等价无穷小的性质,9.极限的唯一性,左右连续,在区间a,b上连续,连续函数的 性 质,初等函数的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的充要条件,连续函数的运算性质,非初等函数的连续性,1.连续的定义,定理,3.连续的充要条件,2.单侧连续,4.间断点的定义,(1)跳跃间断点,(2)可去间断点,5.间断点的分类,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,6.闭区间的连续性,7.连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,8.初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9.闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,2.,1.,3.,典型例题,6.,4.,5.,典型例题解答,1.,解,将分子、分母同乘以因子(1-x),则,解,解法讨论,2.,解,3.,4.,解,解,5.,证明,讨论:,6.,由零点定理知,综上,