多元函数的极值及其应用.ppt

第六讲 多元函数的极值及其应用,内容提要 1.多元函数的极大值与极小值；2.最值问题；3.条件极值。教学要求 1.理解多元函数极值和条件极值的概念；2.掌握多元函数极值存在的必要条件；3.了解二元函数极值存在的充分条件；4.会用拉格朗日乘数法求条件极值；5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题。,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元.如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果 汁,问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,一、多元函数的极值和最大值、最小值,求最大收益即为求二元函数 的最大值.,1、二元函数极值的定义,与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，,下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题.,再如,例如,2、二元函数取得极值的条件,证,凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,对可偏导的函数,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,解,求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,二、二元函数的最值,解,实例：毛毛有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值 拉格朗日乘数法,无条件极值：在研究极值时，对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件.,条件极值：对自变量有附加条件的极值,求条件极值的方法：,解,解,则,例6,解,设寻找的那一点为,显然要求函数,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,多元函数的最值,小结,