多元函数微分法及其.ppt

第八章 多元函数微分法及其 应用习题课（一）,多元函数微分法,一、多元函数的基本概念,1.极 限：,2.连 续：,3.偏导数：,4.全微分：,5.方向导数：,6.梯 度：,二元函数 在点 沿方向 的方向导数为,若，则称函数 在点 可微分，,函数 在点 全微分为,二、多元函数连续、可导、可微的关系,函数连续,函数可导,函数可微,偏导数连续,三、多元函数的求导法,1偏导数求法,2高阶偏导数,求函数 的偏导数 时，只要把 暂时看作常量而对 求导数；,类似地，可求函数 的偏导数。,3多元复合函数求导法则,z,u,v,t,z,u,v,x,y,(1)设 和 在点 可导，在对应点 处可微，则复合函数 在点 处可导，且,(2)设 和 存在偏导数，在对应点 处可微，则复合函数 在 偏导数存在,且,4隐函数的导数,由方程 确定一个连续且具有连续偏导数的函数，则有,5全微分的求法,微分形式的不变性：,6方向导数的求法,当，而、时，有,其中 是方向 的方向余弦。,四、典型例题,【例1】求极限,解：,【例2】求极限,解法1：,解法2：作变量代换，令,当 时,任意,则,分析：在二重极限 的定义中,动点 在 中趋向点 与一元函数 的自变量 在数轴上的变化不同,它可以区域 内沿着不同的路线(如曲线或直线等)和不同方式(连续或离散),从四面八方趋近于点,二元函数 在点 的极限都是.反之,动点 沿着两条不同的路线(或点列)趋近于点,二元函数 有不同的极限,则二元函数 在点 的极限不存在.,解：因为当点 沿 轴趋向于点 时,又当点 沿着直线 趋于点 时,所以 的极限不存在。,分析：在 点处的连续性,应满足.,解：因为当点 沿 轴趋于点 时,又当点 沿着直线 趋于点 时,所以，函数 在原点 的极限不存在，因此，,在原点 不连续.,【例5】设,则 在点,处连续，但 在点 处对 和 的偏导数不存在.,而点 为 的分界点,求偏导数需用偏导数定义。,分析：在点 处的连续性,应满足.,不存在,不存在,解：因为,而,所以,在点 处连续.,所以,在点 处对 和 的偏导数不存在.,解:因为,【例6】*设函数,判断 在原点 处的可微性.,分析:多元函数在一点可微与否？关键是要判别 是不是 的高阶无穷小?如果,则函数 在该点可微,否则函数 在该点不可微.但反过来,多元函数在某一点可微,函数在该点对各个变量偏导数存在,即函数偏导数存在是函数可微的必要条件。,所以,又因为,当沿着特殊的路线,所以,因此，在原点 不可微.,解：,【例7】求函数 的偏导数.,解：根据复合函数求偏导法则得,【例8】设,而,求 和.,分析：先确定是几元函数，然后分别求导，求出全微分，也可利用全微分形式的不变性。,解法1：,【例9】求函数 的全微分.,解法2：由微分形式的不变性,分析：求抽象复合函数 的二阶偏导数，最需要注意的一点是一阶偏导数(及)仍旧是复合函数，且与函数 具有同样的中间变量与自变量。,解法1：设,则,z,u,v,x,y,解法2：若记,则,利用隐函数的求导公式得,解:令,则,【例11】设,求.,分析：如果令,则由方程,确定了 是 的函数,求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。,计算 时，我们采用在方程两边同时对 求偏导的方法,并视 为 的二元函数,得,【例12】设 是方程 所确定的 与 的函数,求,分析：如果令,则由方程 确定了 是 的函数，求 用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。,解:令,则,分析：求方向导数需求出偏导数及方向余弦，然后代入方向导数公式计算即可。,则曲面的法向量为,解：设,方向余弦为,【例13】设 是曲面 在点 处的指向外侧 的法向量,求函数 在此处沿方向 的方向导数.,故,分析：梯度是取得最大方向导数的方向，所以只需求出梯度。,解：沿梯度方向的方向导数最大。梯度为,所以,方向导数的最大值为,【例14】问函数 在点 处沿什么方向的方向 导数最大？并求此方向导数的最大值。,