周期函数的傅立叶级数.ppt
第七节 周期为2L的周期函数的傅立叶级数,定理:设周期为2L的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则,它的傅立叶级数展开式为:,当f(x)为奇函数时:,其中系数bn为:,当f(x)为偶函数时:,其中系数an为:,证明说明:,例1 设f(x)是周期为4的周期函数,它在-2,2)上表达式为:,(常数k0),把f(x)展开成傅立叶级数.,解:此时L=2,其图形如下,一 定义在区间-L,L上函数的傅里叶级数展开,把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是:,1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在-L,L上的奇偶性,或者根据题意确定对0,L上函数f(x)进行奇延拓还是,偶延拓.,2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,.,与bn,n=1,2,并写出相应的傅里叶级数.,3.根据狄里克雷定理写出所得到的傅里叶级数的和函,数S(x).,给定函数的傅里叶级数展开应注意如下几点:,(1)准确确定函数f(x)的周期,与判断它的奇偶性,对于傅里叶级数的计算是很重要的.,由定积分性质可知,若f(x)在-L,L上是奇函数,或偶函数,则计算傅里叶系数就简单些.它只是正,弦级数,或者是余弦级数.,如果函数f(x)在-L,L上没有奇,偶性特性,则可经过,(2)准确掌握函数f(x)的傅里叶系数和傅里叶级数的,坐标变换由函数f(x)构造一个奇函数或偶函数F(x),然后把F(x)展开为正弦级数或余弦级数,再经过逆,变换得到原来函数f(x)的傅里叶级数.,公式,设函数f(x)在-L,L上可积,则f(x)的傅里叶系数,以这些系数组成的函数f(x)的傅里叶级数为,对于以2L为周期的函数g(x),由定积分的周期性性,常常把以2L为周期的周期函数f(x)的傅里叶系数,质可知,不论a是什么值,都有,中积分化为从0到2L的积分.这样使积分简单.,(3)不要把函数f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与f(x),x为f(x)的连续点,x为f(x)的第一类间断点,x为区间的边界点,本身相混同.,当函数f(x)在区间-L,L上满足狄里克雷定理条件,时,它的傅里叶级数必定收敛,且其和函数S(x),因为傅里叶级数通项的周期性,所以傅里叶级数必,能以2L为周期延拓到-L,L之外,使其对任何实数x,都收敛,因此它的和函数S(x)也是定义在实数轴上,以2L为周期的函数,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定,义在-L,L上,则-L,L之外的f(x)的傅里叶级数的,和函数S(x)与函数f(x)无关.,(4)利用给定函数f(x)的傅里叶级数展开式可以求某些数项,例,级数的和值.在某个傅里叶级数等于其和函数的等式中,令,变量x取某个特定值,即得到所求数项级数的和值,在求傅里叶系数an,bn时,发现在n=1时没有意义,故要,再单独计算.,二 定义在区间0,L上函数的傅里叶级数展开,定义在区间0,L上函数f(x)的傅里叶级数展开,通常有以,下几种情况:,(1)把f(x)在0,L上展开成正弦级数.这时,要把f(x),x0,L,奇延拓到-L,0上,在-L,L上构造一个奇函,数F(x),把该奇函数F(x)在-L,L上展开为傅里叶级数,然后限制在0,L上.即为所求的正弦级数.,(2)把f(x)在0,L上展开成余弦级数.这时,应把f(x),x0,L,奇延拓到-L,0上,在-L,L上构造一个偶函数,F(x),在-L,L上展开为傅里叶级数,然后限制在0,L上.,即为所求的余弦级数.,(3)把f(x)在(0,L)内展开为以周期为2L的傅里叶级数.,这时,在区间-L,L上构造一函数F(x),使它在0,L上,F(x)=f(x),在-L,0)上可以定义F(x)为任意函数,特别定义,F(x)=0,即,当然,也可定义,把扩充后的函数F(x)在-L,L上展开为傅里叶级数,然后,限制在(0,L)上即为所求的傅里叶级数,往往它既含有正,弦项,又含有余弦项.,(4)把f(x)在0,L上展开为以L为周期的傅里叶级数.,它与前三项工作不同的是:前面的函数展开工作是以2L,为周期;这里以L为周期,且所得到的傅里叶级数既含有,正弦项,又含有余弦项.本项工作只要注意到f(x)的以L,为周期的周期性,便得到相应的傅里叶系数公式为,例2 把图所示的函数展开成正弦级数,y(x)是定义在0,L上的函数,要把它展开成正弦级数,必须对y(x)进行奇延拓,我们计算延拓后的函数的傅立叶系数,解:,例3 设f(x)=x2(0 x),把f(x)在0,上分别,先把f(x)作奇延拓,则,展开成正弦级数和余弦级数,其次把f(x)作偶延拓,上面把f(x)=x2在0,上展开成正弦级数或余弦级数,是把f(x)作奇延拓或偶延拓,所以得到的正弦级数或余弦级数都是以2为周期的傅里叶级数.如果要把f(x)=x2在0,)上展开成以为周期的傅里叶级数,解法就不同,这时傅里叶系数为,由本例可见,对于同一个函数,可根据需要采用不同的方式展开为相应形式的傅里叶级数.尽管上述的形式不同,但在(0,)上都表示同一个函数f(x)=x2,下面我们利用函数的傅里叶级数展开式,求收敛常数项级数的和 利用函数的傅里叶级数展开式也是求收敛常数项级数的和的方法之一.这里的关键是把常数项级数看作某个函数的傅里叶级数展开式在某点(函数的连续点)所得到的级数.,例4 求下列常数项级数的和,先研究f(x)=x2(0 x),把f(x)在0,上分别展,开成余弦级数(即在例3中),把(1),(2)式相加,
