向量代数与空间解析几何(修改篇).ppt

1.理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。,一、向量代数,第四部分、向量代数与空间解析几何,表示法:,向量的模:,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,有向线段 M1 M2,或 a,表示法:,向量的模:,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,简称向量.,规定:零向量与任何向量平行;,记作,(经过平移后能完全重合),规定:零向量与任何向量平行;,记作,(经过平移后能完全重合),向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,2.向量的减法,1.向量的加法,(指向被减向量),2.向量的减法,三角不等式,1.向量的加法,(指向被减向量),3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,总之:,是一个数,规定:,总之:,是一个数,规定:,运算律:,结合律,分配律,例1.试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且其长度等于第三边长度的一半.,A,B,C,D,E,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,空间直角坐标系的基本概念,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,过空间一定点 o,zox面,空间直角坐标系的基本概念,定点,横轴,纵轴,竖轴,向量,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,坐标轴:,坐标面:,向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,的坐标为,在空间直角坐标系下,设点 M,则,的坐标为,向量的坐标表示,给定向量 r=OM.,则,利用坐标作向量的线性运算,设,则,例3.,向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,得两点间的距离公式:,设两点,与,得两点间的距离公式:,与,设两点,例5.求与两点,等距,及,离的点的轨迹.,例6.已知两点,和,解:,求,方向角与方向余弦,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,空间一点在轴上的投影,定义 设已知空间一点A以及一轴 l，通过点A作轴 l 的垂直平面，那么平面与轴 l 的交点A叫做点A在轴 l上的投影.,空间一向量在轴上的投影,性质(投影定理),向量的投影具有下列性质：,2、掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。,则,设两点,与,两向量的数量积(点积,内积),性质:,数量积的坐标表示:,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式:,得,设,则,当,为非零向量时,由于,得,例8.已知三点,AMB.,求,例8.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,设,则,当,为非零向量时,由于,得,设,则,当,为非零向量时,由于,得,性质:,(叉积)向量积:,且符合右手规则,模:,两向量的向量积(叉积,外积),方向:,(叉积)向量积:,且符合右手规则,模:,两向量的向量积(叉积,外积),方向:,性质:,(叉积)向量积:,且符合右手规则,模:,两向量的向量积(叉积,外积),方向:,运算律:,(2)分配律,(3)结合律,向量积的坐标表示式:,设,则,例11.设 且满足,则,运算律:,(2)分配律,(3)结合律,且符合右手规则,模:,方向:,例12.设,求以 和 为边的平行四边形的面积.,运算律:,(2)分配律,(3)结合律,且符合右手规则,模:,方向:,3.掌握二向量平行、垂直的条件。,1.平面的点法式方程,二、平面与直线,1.会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。,例1 求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点 M0 的线段 OM0 垂直的平面方程(点法式).,过点,1.平面的点法式方程,且垂直于非零向量,的平面的点法式方程:,2.平面的一般方程,的平面.,法向量为,过点,1.平面的点法式方程,且垂直于非零向量,的平面的点法式方程:,3.平面的截距式方程,例2.求过点 M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点 M0 的线段 OM0 垂直的平面方程(表示成一般式和截距式).,2.平面的一般方程,的平面.,法向量为,平面的基本方程:,一般式:,点法式:,截距式:,例3.指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面.,练:指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面.,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面的一般方程:,平面平行于 x 轴;,练:指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面.,当 C=0 时,A x+B y+D=0 的法向量,平面平行于 z 轴;,当 B=0 时,A x+C z+D=0 的法向量,平面平行于 y 轴;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,练:指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面.,当 A=C=0 时,B y+D=0 表示,当 B=C=0 时,A x+D=0 表示,当 A=B=0 时,C z+D=0 表示,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面;,平行于 xoz 面 的平面.,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 C=0 时,A x+B y+D=0 的法向量,平面平行于 z 轴;,当 B=0 时,A x+C z+D=0 的法向量,平面平行于 y 轴;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,当 A=C=0 时,B y+D=0 表示,当 B=C=0 时,A x+D=0 表示,当 A=B=0 时,C z+D=0 表示,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面;,平行于 xoz 面 的平面.,4.两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,4.两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,4.两平面的夹角,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,例7.求平面 与各坐标面的夹角的余弦.,当 z=0 时,当 y=0 时,当 x=0 时,例7.求平面 与各坐标面的夹角的余弦.,4.两平面的夹角,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,4.两平面的夹角,4.两平面的夹角,4.两平面的夹角,4.两平面的夹角,例8.一平面过点(1,0,-1)且平行于向量 和,试求这平面方程.,点到平面的距离公式,例11.求点(2,1,1)到平面 的距离.,2.会求点到平面的距离。,因此其一般式方程,1.一般方程,直线可视为两平面交线，,3.了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。,例.方程组,表示一条直线.,2.标准式(对称式,点向式)方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的标准式(对称式,点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,求直线的方程?,求直线的方程?,直线方程为:,2.标准式(对称式,点向式)方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的标准式(对称式,点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,注意:某些分母为零时,其分子也理解为零.,直线方程为,例如,当,2.标准式(对称式,点向式)方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的标准式(对称式,点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,2.标准式(对称式,点向式)方程,故有,设直线上的动点为,则,此式称为直线的标准式(对称式,点向式方程),已知直线上一点,和它的方向向量,3.参数式方程,设,得参数式方程:,例14.用对称式方程及参数方程表示直线,例15.求过点(1,2,4)且与平面,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,垂直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,2.标准式(对称式,点向式)方程,直线方程:,经过点,方向向量,两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,例17.求以下两直线的夹角,两直线的夹角,例17.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,直线和它在平面上的投影直,4.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）.,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,直线和它在平面上的投影直,则直线与平面夹角 满足,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直,例18.求直线,与平面,的夹角.,例19:试确定下列各组中直线与平面间的关系.,4.会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）.,例20.求过点(1,2,1)而与两直线,和,平行的平面方程.,三、简单的二次曲面,1.了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。,球面方程:,以原点 O(0,0,0)为球心,R 为半径的球面方程为,例:方程 表示怎样的曲面?,在xOy面上表示圆心在原点O,半径为R的圆.,在空间直角坐标系中,此方程不含z,仅含x,y,母线平行于z轴的圆柱面,解:,它的准线是xOy平面上的圆:,平行于定直线,并沿曲线C 移动的直线L 形成的轨迹称为柱面,定曲线C 称为柱面的准线,动直线L 称为柱面的母线.,2.柱面,例:方程 x+y-1=0 在空间直角坐标系中表示怎样的曲面?,方程x+y-1=0在空间直角坐标系中表示一个柱面:,解:,是以xOy平面上的直线 x+y-1=0 为准线,而母线平行于z轴的柱面.,例:方程 x2=4z 表示怎样的柱面?,方程中仅含x,z,故此柱面的母线平行于 y轴,它们的准线为xOz平面上的抛物线 x2=4z,这类柱面为抛物柱面.,解:,F(x,y)=0 在空间直角坐标系中表示柱面,其母线平行于z轴,准线为xOy面上的曲线C:F(x,y)=0;,仅含y,z的方程:F(y,z)=0 在空间表示母线平行于x轴的柱面.,同理,仅含x,z的方程:F(x,z)=0 在空间表示母线平行于y轴的柱面;,常见的母线平行于 z 轴的柱面及其方程有:,方程 称为母线平行于z 轴的圆柱面.,方程 称为母线平行于z轴的椭圆柱面.,方程 称为母线平行于z轴的双曲柱面.,方程 x2=2py 称为母线平行于 z轴的抛物柱面.,以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,定义,3.旋转曲面,如图,将 代入,旋转过程中的特征:,设,(1),(2),点 M 到 z 轴的距离,得方程:,是:yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.,将 代入,得方程:,是:yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.,将 代入,例:求 yOz 平面上的抛物线 z=y2 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.,例:求 yOz 平面上的抛物线 z=y2 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.,所求曲面方程为:,这个曲面称为旋转抛物面.,旋转抛物面,得方程:,是:yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.,同理,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,将 代入,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程:,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程:,例1.求 xOy 平面上的曲线 绕 y 轴旋转而成的曲面方程.,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程:,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,曲面方程:,这个曲面称为旋转椭球面.,旋转椭球面,旋转曲面的方程为:,解,此曲面称为圆锥面,即,例2.求 yOz 平面上的直线 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.,其中,为圆锥顶角.,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程:,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程:,例3.求xOy坐标面上的双曲线 分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程:,yOz 坐标面上的已知曲线 f(y,z)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程:,xOy 坐标面上的已知曲线 f(x,y)=0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程:,例4.说明下列方程分别表示什么图形?,方程 称为母线平行于z轴的双曲柱面.,题型一：向量计算,题型二：计算平面或直线方程,题型二：计算平面或直线方程,题型三：判断二次曲面的方程,综合练习,1.判别级数 的敛散性.,2.将 在 x=1 处展开成泰勒级数.,综合练习,5.求,6.求,7.设 求 并讨论 是否存在.,8.计算积分,综合练习,10.设 求,9.计算下列积分.,综合练习解答,1.判别级数 的敛散性.,2.将 在 x=1 处展开成泰勒级数.,取级数,用比较判别法,得到原级数收敛.,综合练习解答,通解为:,综合练习解答,5.,6.,综合练习解答,7.设 求 并讨论 是否存在.,当x0时,不存在.,综合练习解答,8.计算积分,综合练习解答,9.计算下列积分.,(1)令 则,综合练习解答,9.计算下列积分.,(2),综合练习,10.设 求,