向量代数 平面与直线.ppt

,线性代数与空间解析几何,关秀翠,东南大学数学系,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,自主学习,如何学好,做好预习复习,多看多练多想,工科基础,考研基础,期末成绩占 90%,平时成绩占5%,分配时间,学习方法,数学试验占5%,序 言,一、线性代数,主要任务就是解线性方程组,二、空间解析几何,线性方程组,方程间的关系,向量间的关系,矩阵的性质和运算,方阵行列式的运算,三、两者关系：,数量关系,在三维空间中:,空间形式 点,线,面，二次曲面,基本方法 坐标法;向量法,坐标,方程（组）,三维n维,方程组：,教学内容和基本要求,第一章 向量代数 平面与直线,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示,二.向量的加法,三.向量的减法,四.向量与数量的乘法（数乘）,五.共线、共面向量的判定,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示,1.向量：,2.向量的长度或模：,3.自由向量：,4.相等向量：,5.负向量：,6.零向量：,既有大小又有方向的量,只考虑向量的大小和方向不计较起点位置,长度相等且方向相同,长度相等且方向相反,方向相同或相反,7.平行(共线)向量：,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的加法,三.向量的减法,四.向量与数量的乘法（数乘）,五.共线、共面向量的判定,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,二.向量的加法,1.平行四边形法则,2.三角形法则,3.运算性质:,结合律,交换律,首尾相接,多边形法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的加法,三.向量的减法,四.向量与数量的乘法（数乘）,五.共线、共面向量的判定,平行四边形、三角形、多边形法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,三.向量的减法,运算性质:,三角不等式,（减数指向被减数）,（后项减去前项）,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的加法,三.向量的减法,四.向量与数量的乘法（数乘）,五.共线、共面向量的判定,平行四边形、三角形、多边形法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,四.向量与数量的乘法（数乘）,1.定义：m,注:m=m=0 或=.,2.运算性质,(1)=.,单位向量：长度为1的向量,模：,方向：,非零向量的单位化：,分配律,结合律,向量的伸缩,/,例1.设P,Q分别是ABC的BC,AC边的中点,AP与BQ交于点M.证明:,A,B,C,M,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,P,Q,往证点S与点T重合,即,证明：可知,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的加法,三.向量的减法,四.数乘,五.共线、共面向量的判定,平行四边形、三角形、多边形法则,向量的伸缩,向量的单位化：,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,五.共线、共面向量的判定,1.定义:共线(平行),定理1.1 设向量,向量与共线 存在唯一的实数m使得=m.,推论1.1 向量1,2共线 存在不全为零的实数k1,k2使得 k11+k22=.,注：向量1,2不共线 k11+k22=只有零解，即 k1=k2=0.,注：设向量,向量与共线 可由 唯一的线性表示.,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,五.共线、共面向量的判定,定理1.2 若向量,不平行,则向量与,共面 存在唯一的有序实数组(m,n),使得=m+n.,推论1.2 向量1,2,3共面 存在不全为零 的实数k1,k2,k3,使得 k11+k22+k33=.,注：向量1,2,3不共面 k11+k22+k33=只有零解，即k1=k2=k3=0.,注：若向量,不平行,则向量与,共面 可由,唯一的线性表示.,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的加法,三.向量的减法,四.数乘,五.共线、共面向量的判定,重点和难点,平行四边形、三角形、多边形法则,向量的伸缩,向量的单位化,与()共线唯一实数m使得=m 可由唯一线性表示不全为零的k1,k2使得k1+k2=.,与,共面唯一实数m,n使得=m+n.不全为零的k1,k2,k3使k1+k2+k3=.,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一.仿射坐标系、直角坐标系,1.线性表示,(1)在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2)在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,定理1.3 在空间中取定三个不共面的1,2,3,则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.,实数k1,k2,k3,使得=k11+k22+k33.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,定理1.3 在空间中取定三个不共面的1,2,3,则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x,y,z),使得=x1+y2+z3.,唯一性：,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,右(左)手仿射坐标系.,=x1+y2+z3=(x,y,z),2.仿射坐标系O;1,2,3,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标(分量);,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),坐标面,卦限(八个),zox面,3.空间直角坐标系,坐标分解式:,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,二.用坐标进行向量的线性运算,设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则k1+k2,=(x2,y2,z2)(x1,y1,z1),=(x2x1,y2y1,z2z1).,=(k1x1+k2x2,k1y1+k2y2,k1z1+k2z2).,后项减前项,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一.仿射坐标系、,二.用坐标进行向量的线性运算,重点掌握,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的线性运算:加减法、数乘,三.共线、共面向量的判定,重点和难点,直角坐标系,掌握,结果是向量,1.直线上任一向量都可由一个非零向量唯一的线性表示.,2.平面上任一向量都可由两个不共线向量唯一的线性表示.,3.空间中任一向量都可由三个不共面向量唯一的线性表示.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一.两个向量的数量积(点积、内积),1.物理背景,2.两个非零向量之间的夹角,3.数量积的定义,4.内积的性质,5.直角坐标系 下向量内积的计算,6.模、夹角、距离公式,7.方向角、方向余弦和方向数,8.投影的概念及与内积的关系,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一.两个向量的数量积(点积、内积),1.物理背景,2.两个非零向量之间的夹角,3.数量积的定义,注:=0=或=或(,),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,4.内积的性质,(1)正定性:2=|20且2=0=,(2)对称性:=,(3)(m)=m()=(m),(4)分配律：(+)=+,(5)线性性：(k+l)=k+l,(6)Schwartz不等式：|,(7)三角不等式:|-|+|,(8)|+|2+|-|2=2(|2+|2),注:数量积不满足消去律,即=,=.,应为(-)=0(-).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,(2)设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则=x1x2+y1y2+z1z2,5.直角坐标系 下向量内积的计算,例1.已知|=3,|=6,(,)=/3,(3)(+2),求.,解：(3)(+2)=0,3 2+(6)2 2=0,39+(6)|cos/3 236=0,8181=0=1.,=2=x12+y12+z12,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,6.模、夹角、距离公式,(2)设非零向量=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)之间的夹角为,则,x1x2+y1y2+z1z2,(3)点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为,=x1x2+y1y2+z1z2,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一.两个向量的数量积,1.物理背景,2.两个非零向量之间的夹角,3.数量积(点积、内积)的定义,4.内积的性质,5.直角坐标系下计算内积,6.模、夹角、距离公式,7.方向角、方向余弦和方向数,8.投影的概念及与内积的关系,正定性、线性性、Schwartz、三角不等式,=x1x2+y1y2+z1z2,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,7.方向角、方向余弦和方向数,(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角;,方向余弦:cos,cos,cos,方向角的余弦称为此向量的方向余弦.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,(3)方向数c1,c2,c3:,注2：cos2+cos2+cos2=1.,(2)向量 的方向余弦,注1：方向余弦唯一，但方向数不唯一.,与方向余弦成比例的一组数,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例2.向量1=(1,2,3),2=(1,0,0),3=(1,1,3),=1+2+3,求|,的方向余弦、方向数,=(,3).,解：=1+2+3=(3,3,6),的方向数:3,3,6;或者1,1,2;通式为k,k,2k(k0),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一.两个向量的数量积,1.物理背景,2.两个非零向量之间的夹角,3.数量积(点积、内积)的定义,4.内积的性质,5.直角坐标系下计算内积,6.模、夹角、距离公式,7.方向角、方向余弦和方向数,8.投影的概念及与内积的关系,正定性、线性性、Schwartz、三角不等式,=x1x2+y1y2+z1z2,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,8.投影的概念及与内积的关系,投影与内积的关系：,(注意投影是一个数),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一.两个向量的数量积(点积、内积),1.两个非零向量之间的夹角,2.数量积的定义,3.内积的性质,4.直角坐标系下计算内积,5.模、夹角、距离公式,6.方向角、方向余弦和方向数,7.投影,正定性、线性性、Schwartz、三角不等式,=x1x2+y1y2+z1z2,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二.两个向量的向量积(叉积、外积),1.物理背景,2.向量积的定义,3.向量积的模的几何意义,4.外积的性质,5.直角坐标系 下外积的坐标计算,一.两个向量的数量积(点积、内积),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,二.两个向量的向量积(叉积,外积),1.物理背景:,2.向量积的定义:,|=|sin,其中=(,).,3.模的几何意义：,力矩=力力臂,是一个向量.,当,，且,不平行时，,正弦值等于边长为1菱形的面积.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二.两个向量的向量积(叉积、外积),1.物理背景,2.向量积的定义,3.向量积的模的几何意义,4.外积的性质,5.直角坐标系 下外积的坐标计算,一.两个向量的数量积(点积、内积),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,4.外积的性质,(3)反对称性:=,(4)(m)=m()=(m),(5)(+)=+,(6)()2+()2=2 2,例3.已知|=3,|=11,且=30.求|.,(1)=或=或(,/),/(规定/),|=|sin,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二.两个向量的向量积(叉积、外积),1.物理背景,2.向量积的定义,3.向量积的模的几何意义,4.外积的性质,5.直角坐标系 下外积的坐标计算,一.两个向量的数量积(点积、内积),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,5.直角系 下外积的坐标计算,(2)设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),则,(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),(1),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,(3)二阶行列式,=i+j+k,注:=(a1,a2,a3)与=(b1,b2,b3)共线=,=,注:为任意值,不共线,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,|=|sin=S,正定性、线性性、Schwar-tz不等式、三角不等式,反对称性=,=0,=/,=a1b1+a2b2+a3b3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例4.求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,A,分析:P到AB的距离可看作底边AB上的高.,解1：,解2：,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例5.已知向量=(1,2,1),=(1,1,1),且=8,其中=(1,2,1),求.,解法1：,设=(x,y,z),由题设知，,解法2：,解得=(x,y,z)=(1,-2,3).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例6.已知向量,有共同起点但不共面,求以它们为棱的平行六面体的体积V.,V=(),S=|,h=(),解：,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,三.三个向量的混合积,1.,的混合积:(,)=(),2.几何意义,设,为不共面的三个向量,将它们平 移到同一起点.若它们符合右手法则,则与()在与 所成平面的同侧,于是,V=(),若与()在与 所成平面的两侧,则,V=(),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,定理1.4 设向量,不共面，则当,符合右(或左)手法则时()=V(或V).,推论1.4,共面()=0,注:轮换对称性,()=()=(),(),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,3.性质,(1)(,)=0,(2)(,)=(,),(3)(1+2,)=(1,)+(2,),(4)(m,)=m(,)=(,m,)=(,m),(5)(,+m)=(,),其中m为一实数.,注:结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质.如:(,1+2,)=(,1,)+(,2,);(+m,)=(,),等等.,=(,)=(,),=(,)=(,),轮换对称性,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例7.试证(2,+3,+)=6(,).,证明：,(2,+3,+)=(2,3,+),=(2,3,),=6(,),=6(,),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,例8.由定理1.3可知,在空间中任取三个不共面 的,后,空间中任一向量 都可以由,唯一的线性表示,即存在唯一的实数 组(x,y,z),使得=x+y+z.下面我们去求x,y,z的值.,(,)=(x+y+z,),=(x,)+(y,)+(z,),=x(,).,不共面，则(,)0.,解：,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二.两个向量的向量积(叉积,外积),1.混合积的定义,2.混合积的几何意义,3.混合积的性质,4.直角系下混合积的坐标计算,一.两个向量的数量积(点积、内积),三.三个向量的混合积,5.三阶行列式,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,4.直角系下混合积的坐标计算,设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),则=(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),()=(a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,5.三阶行列式,a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3,(1)定义,(2)对角线法则,=a1(b2c3b3c2)a2(b1c3b3c1)+a3(b1c2b2c1),按第一行的展开式,二阶行列式的系数：,=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积,向量积和混合积,注:对于向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),和=(c1,c2,c3),采用行列式的记号,我们有,()=,=,推论1.4 三个向量=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3)共面的充分必要条件是,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,|=|sin=S,正定性,线性性,Schwartz不等式,反对称性=,=0,=/,=a1b1+a2b2+a3b3,(,)=()=V(平行六面体),轮换对称性,(1),(2),(5),(,)=0 共面,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,2.一般方程,3.特殊位置的平面方程,4.三点式方程,5.截距式方程,二.空间直线的方程,1.参数方程,2.标准(对称)方程,4.两点式方程,3.一般方程,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,2.距离,3.平面束方程,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,P,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,2.一般方程,Ax+By+Cz+D=0,定理1.5 平面方程是三元一次方程,而三元一 次方程必然表示一个平面.,P0(x0,y0,z0),P(x,y,z),其中D=Ax0 By0 Cz0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.特殊位置的平面方程,(1)过原点的平面:Ax+By+Cz=0,(2)平行于x轴的平面:,平行于y轴的平面:Ax+Cz+D=0,平行于z轴的平面:Ax+By+D=0,(3)平行于xoy面的平面:,平行于yoz面的平面:Ax+D=0,平行于xoz面的平面:By+D=0,Ax+By+Cz+D=0,若A0，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0)=0,P0(-D/A,0,0),By+Cz+D=0,Cz+D=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例1.求通过点P0(1,2,3),且,注:确定A,B,C,D的值;,作图时应标注一些特殊点,如与坐标轴 或坐标平面的交点.,(1)通过x轴;,(2)平行于yoz平面,的平面方程,并且分别作出它们的图形.,By+Cz=0,2B+3C=0,3y-2z=0,Ax+D=0,A+D=0,x 1=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,4.三点式方程,经过不共线三点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)的平面,5.截距式方程,的方程,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,2.一般方程,3.特殊位置的平面方程,4.三点式方程,5.截距式方程,二.空间直线的方程,1.参数方程,2.标准(对称)方程,4.两点式方程,3.一般方程,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,2.距离,3.平面束方程,重要信息:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,二.空间直线的方程,1.参数方程,P,x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.,2.标准(对称)方程,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.一般方程,A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0,4.两点式方程,过两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2.求过点P(7,6,5),垂直于直线L0:,且平行于平面0:x+y+z+1=0的直线方程.,=(9,5,1).,=(4,8,4).,所求直线L的方程为,P,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2.求过点P(7,6,5),垂直于直线L0:,且平行于平面0:x+y+z+1=0的直线方程.,x 2y+z+3=0,2x 3y 3z 9=0,(9,5,1).,9(x+7)+5(y6)+(z5)=0,即:9x+5y+z+28=0.,过点P(7,6,5)平行于平面0的平面2为,(x+7)+(y6)+(z5)=0,即:x+y+z4=0.,故所求直线L的方程为,0,2,1,P,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,2.一般方程,3.特殊位置的平面方程,4.三点式方程,5.截距式方程,二.空间直线的方程,1.参数方程,2.标准(对称)方程,4.两点式方程,3.一般方程,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,2.距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,(1)两条直线的夹角,(2)两个平面的夹角,(3)直线与平面的夹角,规定夹角的范围0/2.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例3.求直线L:,与平面:x+2y+z+1=0之间的夹角.,解：,法2：,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,(1)两条直线的夹角,(2)两个平面的夹角,(3)直线与平面的夹角,规定夹角的范围0/2.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,2.距离,(1)点P到直线L的距离:,(2)两平行直线之间的距离:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,2.距离,(3)点P(x1,y1,z1)到平面:Ax+By+Cz+D=0的距离,(4)两平行平面间的距离:,一平面上一点到另一平面距离,L1,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(5)异面直线之间的距离,L2,s1,s2,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例5.求证L1:,解：,L2:,是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离.,所以是两条异面直线.,公垂线的方向为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,解1：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,2,平面1的法向量为,平面2的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0,即:y+z2=0.,平面2的方程为,公垂线的方程为,2x+5y+4z+8=0,例5.L1:,L2:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,解2：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,平面1的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0,即:y+z2=0.,平面1与直线L2的交点为,公垂线的方程为,M(8,0,2).,例5.L1:,L2:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,2.一般方程,3.特殊位置的平面方程,二.空间直线的方程,2.标准(对称)方程,3.一般方程,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,2.距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3.通过直线L的平面束方程,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例6.已知1:2x y+z+1=0,问1与2是否相交;若相交,求出交线在平面:2x+3y 6=0上的投影直线方程.,2:x 3y+2z+4=0.,解：,1,2相交.,过交线且垂直 的平面3:,3:,所求投影直线方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例7.求直线L:,:x+y 2z+1=0上的投影直线方程.,解：,设过 L 的平面束方程为:,所求投影直线方程为,直线的对称方程可转化为一般方程:,投影平面方程为,在平面,垂直于的平面1的法向量满足,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例7.求直线L:,:x+y 2z+1=0上的投影直线方程.,解II：,所求投影直线方程为,投影平面方程为,在平面,过直线l且垂直于的平面1的法向量为:,(2,1,2)(1,1,2)=(4,6,1),又因为1过直线l上的点(2,1,1),可得1的点法式方程 4(x2)+6(y1)+(z+1)=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一.平面的方程,1.点法式方程,2.一般方程,3.特殊位置的平面方程,二.空间直线的方程,2.标准(对称)方程,3.一般方程,三.与直线、平面有关的一些问题,1.夹角,2.距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一.向量的概念及其表示：方向和大小,二.向量的线性运算:加减法、数乘,三.共线、共面向量的判定,重点和难点,结果是向量,1.直线上任一向量都可由一个非零向量唯一的线性表示.,2.平面上任一向量都可由两个不共线向量唯一的线性表示.,3.空间中任一向量都可由三个不共面向量唯一的线性表示.,1.2 空间坐标系,一.仿射坐标系、,二.用坐标进行向量的线性运算,重点掌握,直角坐标系,掌握,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,|=|sin=S,正定性,线性性,Schwartz不等式,反对称性=,=0,=/,=a1b1+a2b2+a3b3,(,)=()=V(平行六面体),轮换对称性,(1),(2),(5),(,)=0 共面,第一章 向量代数 平面与直线,本章习题,一.习题1.1 2,3,5,6,三.习题1.3 8,10,11,13,15,18 思考题 1,2,3,4,二.习题1.2 2,4,5,6 习题1.3 2,3,6,7,四.习题1.4 2,7,8(1,3,4),11,12,15,16,19,20,6(1),五.习题1.4 17 思考题 6,7,8,9,11,