二重积分的概念与性质.ppt

1,第一节 二重积分的概念与性质,一、问题的提出,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,四、小结 思考题,2,复习和总结,（1）定积分是用来解决哪一类问题？,（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？,定积分,答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题,被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间,答：“分割,取近似,求和,取极限”,（3）如何计算定积分？,3,现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题,推广,所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关,被积函数,积分范围,二元函数,平面区域,二重积分,三元函数,空间区域,三重积分,一段曲线,曲线积分,一片曲面,曲面积分,问题:,积分类型,4,【特点】平顶.,柱体体积=？,【特点】曲顶.,曲顶柱体,1曲顶柱体的体积,一、问题的提出引例,5,类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平行于z 轴的柱面,求其体积.,“分割,取近似,求和,取极限”,解法,6,步骤如下,取近似、求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,得曲顶柱体的体积,取极限：,7,2求平面薄片的质量,分割：将薄片分割成若干小块，,近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量,分析,=常数时，质量=，其中 为面积.,取极限：得薄片总质量,若 为非常数，仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.,8,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割,取近似,求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,9,二、二重积分的定义及可积性,1.定义,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界闭区域 D上的有界函数,10,2.【对二重积分定义的说明】,(3)f(x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件.,代替,？,不能,连续是二重积分存在的充分条件,用,(1)积分存在时，其值与区域的分法和点 的取法无关,(证明略),11,3.【二重积分的几何意义】,4.【物理意义】,表曲顶柱体的体积.,1)若,表曲顶柱体体积的负值.,2)若,3)若,表区域D的面积.,几个特殊结果,体积的代数和,12,注 1.重积分与定积分的区别：,重积分中d 0,定积分中dx 可正可负.,2.根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,故二重积分可写为,则直角坐标系下面积元素为,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,13,性质1,性质2,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,逐项积分,线性性质可以推广至有限个函数的情形。,线性性质,14,性质3,对区域具有可加性,性质4,若 为D的面积，,性质5,若在D上,特殊地,则有,比较性质,15,性质6,性质7,二重积分中值定理,二重积分估值不等式,曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积,几何意义,16,证明,以下仅证性质7（中值定理）,由估值性质得,据有界闭域上的连续函数的介值定理,变形后【得证】,17,比较下列积分的大小:,其中,积分域D 的边界为圆周,它与x 轴交于点(1,0),而区域D位,从而,于直线的上方,故在 D 上,作业题、课后习题,见作业答案解法或有关习题解答,例1,解,解,18,例2,解,19,解,课后习题,例3,20,机动,被积函数相同,且非负,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,练习,解,提示 被积函数相同，则比较区域D的大小.,21,2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),因 0 y 1,故,故在D上有,提示,区域D相同，则比较被积函数的大小,22,D 位于x 轴上方的部分为D1,在D上,则,则,补充在分析问题和计算二重积分时常用的对称奇偶性,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时有类似结果.,2.若D关于原点对称,(1),(2),D2为y轴右方的部分,23,例如,在第一象限部分,则有,利用对称性简化运算时要特别考虑两方面被积函数的奇偶性积分区域的对称性,说明,24,二重积分的定义,二重积分的性质（7条）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,二重积分的物理意义（平面薄片的质量）,二重积分的比较大小,1.若区域D相同，则比较被积函数的大小；,2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.,25,26,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2 二重积分的计算法（一）,27,复习与回顾,(2)回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为:,(1)二重积分,28,其中函数、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,X型区域的特点 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.预备知识,29,(2)Y型域,Y型区域的特点穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,30,(3)既非X型域也非Y型域,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,31,(1)若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式推导】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.,方法,32,即得,公式1,33,几点小结,定限口诀,后积先定限(投影),限内划条线(穿线),先交下限写,后交上限见,a,b,x,(后积变量上下限必为常数),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,34,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,35,(1)使用公式1必须是X型域，,公式2必须是Y型域.,(2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.(见后续补充例题),(3)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域（或Y-型域）,说明,36,4.【例题部分】,例1,解,看作X型域,解,看作Y型域,37,例2,解,D 既是X型域又是Y型域,法1,38,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,39,例3,解,D既是X型域又是Y型域,先求交点,40,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,41,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),42,5.【简单应用】,例4,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,43,例5,解,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,44,6.【补充】改变二次积分的积分次序例题,补例1,解,45,随堂练习,1.计算,其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2=x 所围成.,解,积不出的积分，无法计算。,课本P154 第5题第6题,练习,46,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例2,作业:1 x 1,47,计算,其中D 由,所围成.,令,(如图所示),显然,利用对称性与奇偶性,补例3,分析,解,课本P154 第3 题,与积分变量无关,补例4,与积分变量无关,与积分变量无关,48,分部积分法(略).(05/06学年第一学期考试题A卷),化为二次积分,交换积分次序,原式=,原式,补例5,解,解,49,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,课本P153 习题10-2,练习,50,51,一 利用直角坐标计算二重积分,二 小结 思考题,10.2 二重积分的计算法（一）,52,复习与回顾,(2)回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积为已知的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点x处的平行截面的面积为:,(1)二重积分,53,其中函数、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X型域,X型区域的特点 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.预备知识,54,(2)Y型域,Y型区域的特点穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,55,(3)既非X型域也非Y型域,在分割后的三个区域上分别都是X型域(或Y型域),则必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,56,(1)若积分区域为X型域：,2.【二重积分公式推导】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.,方法,57,即得,公式1,58,几点小结,定限口诀,后积先定限(投影),限内划条线(穿线),先交下限写,后交上限见,a,b,x,(后积变量上下限必为常数),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,59,3.【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式2,60,(1)使用公式1必须是X型域，,公式2必须是Y型域.,(2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.(见后续补充例题),(3)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域（或Y-型域）,说明,61,4.【例题部分】,例1,解,看作X型域,解,看作Y型域,62,例2,解,D 既是X型域又是Y型域,法1,63,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,64,例3,解,D既是X型域又是Y型域,先求交点,65,法1,法2,视为X型域,计算较繁,本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,66,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),67,5.【简单应用】,例4,求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,68,例5,解,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,与定积分元素法相同,69,6.【补充】改变二次积分的积分次序例题,补例1,解,70,随堂练习,1.计算,其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2=x 所围成.,解,积不出的积分，无法计算。,课本P154 第5题第6题,练习,71,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例2,作业:1 x 1,72,计算,其中D 由,所围成.,令,(如图所示),显然,利用对称性与奇偶性,补例3,分析,解,课本P154 第3 题,与积分变量无关,补例4,与积分变量无关,与积分变量无关,73,分部积分法(略).(05/06学年第一学期考试题A卷),化为二次积分,交换积分次序,原式=,原式,补例5,解,解,74,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,二、小结,Y型,X型,课本P153 习题10-2,练习,